Пример 2.2

Табличная функция Лапласа (см приложение А).

Проверим гипотезу с помощью критерия согласия Хи-квадрат Пирсона.

Параметр = 71, 665, 6, 677 (вычислены в лабораторной работе №1).

Вычислим вероятности по формуле:

= = = -0, 3997+0, 5 = 0, 1003,

= = = - 0, 2881 + 0, 3997 = 0, 1116,

= = = - 0, 1293 + 0, 2881= 0, 1588,

= = = 0, 0557 + 0, 1293 = 0, 1850,

= = = 0, 2291- 0, 0557 = 0, 1734,

= = = 0, 3599- 0, 2291 = 0, 1308,

= = = 0, 5 - 0, 3599 = 0, 1401.

Таблица 2.2 – Расчет c2 для случайной величины Х, распределенной по нормальному закону

Границы интервалов	Частоты эмпири-ческие	Вероятности	Частоты теоретические
(, 63, 15]		0, 1003	4, 012	0, 985
(63, 15; 66, 3]		0, 1116	10, 816	0, 304
(66, 3; 69, 45 ]		0, 1588
(69, 45; 72, 6]		0, 1850	19, 568	0, 017
(72, 6; 75, 75]		0, 1734
(75, 75; 78, 9]		0, 1308
(78, 9, )		0, 1401	5, 604	0, 028
итого				1, 334=

Рисунок 2.2 – Компьютерный расчет

Вывод. По таблицам квантилей распределения c² определяется критическое значение = = 3, 841(Приложение Б), соответствующее заданному уровню значимости a=0, 05 и числу степеней свободы , (4 – число интервалов в последнем столбце таблицы, 2 – число параметров нормального закона распределения). Сравниваем полученное значение с табличным значением. Так как расчетное = 1, 334 меньше, чем табличное = 3, 841, то гипотеза о нормальном законе распределения подтвердилась.

Пример 2.2

При проведении экспериментов фиксировались значения случайной величины X, характеризующей время простоя оборудования в ожидании ремонта (в часах).

Требуется выдвинуть гипотезу о виде закона распределения данной случайной величины X и проверить ее с помощью критерия согласия .

1) Составим расчетную таблицу, в которой запишем вариационный ряд (элементы выборки в порядке возрастания признака) и произведем расчеты, необходимые для вычисления числовых характеристик.

Таблица 2.3 – Расчетная таблица

Номер п/п	Выборка, час.	Вариационный ряд, , час.
	6, 72	0, 21
	8, 2	0, 4
	0, 4	0, 64
	12, 9	0, 69
	3, 15	0, 77
	34, 5	0, 93
	4, 71	1, 14
	1, 14	1, 51
	2, 87	1, 73
	3, 07	1, 86
	5, 86
	11, 4	2, 1
	3, 12	2, 32
	0, 21	2, 32
	1, 51	2, 4
	2, 76	2, 76
	0, 93	2, 87
	2, 4	2, 87
	3, 5	2, 99
	5, 29	3, 07
	1, 86	3, 12
	4, 99	3, 15
	8, 77	3, 5
	1, 73	3, 6
	0, 77	4, 59
	5, 99	4, 61
	7, 95	4, 71
	2, 87	4, 99
	0, 64	5, 29
	5, 74	5, 74
	0, 69	5, 86
	2, 99	5, 99
	4, 59	6, 72
	2, 32	7, 95
	2, 32	8, 2
		8, 77
	2, 1	11, 4
	4, 61	12, 9
	30, 1	30, 1
	3, 6	34, 5
Итого

2) Найдем размах выборки = 34, 5- 0, 21 = 34, 29.

3) Длина интервала = = = 5, 424.

4) границы интервалов:

= 0, 21, =0, 21+5, 424 = 5, 634, = 5, 634 +5, 424 = 11, 058, = 11, 058 +5, 424= 16, 482, = 16, 482+ 5, 424= 21, 906, = 21, 906+ 5, 424 = 27, 33, = 27, 33+ 5, 424 = 32, 754, = 32, 754+ 5, 424 = 38, 178 .

5) Построим интервальный статистический ряд:

Таблица 2.4– Интервальный статистический ряд

Границы интервалов , час.	Частоты
[0.21; 5, 634)
[5, 634; 11, 058)
[11, 058; 16, 482)
[16, 482; 21, 906)
[21, 906; 27, 33)
[27, 33; 32, 754)
[32, 754; 38, 178)
Итого

6) Вычислим необходимые числовые характеристики.

а) математическое ожидание .

7) Построим гистограмму частот.

Рисунок 2.3 – Гистограмма частот

8) По виду гистограммы частот выдвигаем нулевую гипотезу о виде закона распределения случайной величины (времени простоя оборудования в ожидании ремонта):

Случайная величина (время простоя оборудования в ожидании ремонта) распределена по показательному (экспоненциальному) закону.

9) Выбираем уровень значимости .

10) Вычислим вероятности p_i попадания значений случайной величины Х в рассматриваемые разряды разбиения по формуле: = .

.

Проверим гипотезу с помощью критерия согласия Хи-квадрат Пирсона.

11) Вычислим параметр = = = 0, 189358 = 0, 189.

12) Так как изучается непрерывная случайная величина, то при вычислении значений необходимо изменить границы первого и последнего частичных интервалов разбиения. В нашем случае проверяется гипотеза о показательном законе распределения.

Вид закона распределения	Первый интервал разбиения	Последний интервал разбиения
Экспоненциальный

13) Вычислим вероятности по формуле .

Пример расчета:

1- 0, 344788 = 0, 655212 =0, 655.

14) Для того, чтобы облегчить расчеты, можно с помощью пакета программ выполнить промежуточные расчеты, которые необходимо оформить в виде таблицы:

Таблица 2.5- Расчетная таблица

Граница интервала
			0, 655212	26, 21
5, 634	-1, 06483	0, 344788	0, 221096	8, 844
11, 058	-2, 08996	0, 123692	0, 079318	3, 173
16, 482	-3, 1151	0, 044374	0, 028455	1, 138
21, 906	-4, 14023	0, 015919	0, 010208	0, 408
27, 33	-5, 16537	0, 005711	0, 003662	0, 146
32, 754	-6, 19051	0, 002049	0, 002049	0, 082
	-		-	-
Итого	-	-

Таблица 2.6 – Расчет c2 для случайной величины Х, распределенной по показательному закону

Границы интервалов	Частоты эмпири-ческие	Вероят-ности	Частоты теоретические
[0; 5, 634)		0, 655	26, 21
[5, 634; 11, 058)		0, 221	8, 844
[11, 058; 16, 482)		0, 079	3, 173
[16, 482; 21, 906)		0, 028	1, 138
[21, 906; 27, 33)		0, 01	0, 408
[27, 33; 32, 754)		0, 004	0, 146
[32, 754; )		0, 002	0, 082
Итого				0, 863 = c2

15) Вычислим число степеней свободы n = k – r – 1 = 3-1-1= 1, где k = 3– число интервалов в таблице 2.6 после объединения, r =1 - число параметров выбранного закона распределения – в нашем случае показательный закон (один параметр ).

16) По таблицам квантилей распределения c² определяется критическое значение = = 3, 841 (Приложение Б), соответствующее заданному уровню значимости a=0, 05 и числу степеней свободы n = 1.

Вывод. Так как расчетное = 0, 863 меньше, чем табличное = 3, 841, то гипотеза о показательном законе распределения непрерывной случайной величины, характеризующей время простоя оборудования в ожидании ремонта, подтвердилась.

Порядок выполнения работы

1 Принять значение уровня значимости a.

2 Выдвинуть гипотезу о виде закона распределения изучаемой случайной величины по данным из лабораторной работы №1.

3 Проверить согласование сформулированной гипотезы с имеющимися выборочными данными (ручной расчёт):

– вычислить оценки параметров предполагаемого закона распределения;

– определить значения теоретических частот np_i, i = 1, 2, …, k;

– вычислить выборочное значение критерия c²;

–сравнить выборочное значение критерия с критическим значением и сделать вывод.

4 Проверить согласование выдвинутой гипотезы с имеющимися экспериментальными данными с помощью ППП:

– вычислить выборочное значение критерия c² (приложение А, п. 9);

– построить совместное графическое изображение статистического и предполагаемого теоретического распределений изучаемой случайной величины (см. приложение А, п. 9).

5 Сделать вывод о законе распределения вероятностей изучаемой случайной величины.

Контрольные вопросы

1 Что такое непараметрическая гипотеза?

2 Что такое нулевая, альтернативная гипотезы?

3 Из каких соображений выдвигается гипотеза о виде закона распределения случайной величины?

4 Что такое статистический критерий?

5 Какие ошибки могут быть совершены при статистической проверке гипотез?

6 Что такое уровень значимости статистического критерия?

7 Что называется статистическим критерием значимости?

8 По какой формуле вычисляется критерий c²?

9 Сформулируйте алгоритм применения критерия Пирсона.

10 Как найти критическое значение критерия ?

11 Как вычислить число степеней свободы ?

ПРИЛОЖЕНИЕ А (справочное) Таблица значений функции Лапласа

х	Сотые доли х
0.0	0.0000
0.1	0.0398
0.2	0.0793
0.3	0.1179
0.4	0.1554
0.5	0.1915
0.6	0.2257
0.7
0.8
0.9
1.0	0.3413
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0	0.4772
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0	0.49865
3.1	0.49903
3.2	0.49931
3.3	0.49952
3.4	0.49966
3.6	0.499841
3.8	0.499928
4.0	0.499968
4.5	0.499997
5.0	0.4999997
	0.5

ПРИЛОЖЕНИЕ Б
(справочное)
Критические точки распределения c²