Сентября 2016

Сентября 2016

1. На клетчатой бумаге отмечены четыре узла сетки, образующие квадрат 4х4. Отметьте ещё два узла и соедините их замкнутой ломаной так, чтобы получился шестиугольник (не обязательно выпуклый) площади 6 клеток.

2. Разрежьте прямоугольник на 10 прямоугольников, чтобы никакие два соседних прямоугольника не образовывали прямоугольника. Можно ли так разрезать на 2016 прямоугольников?

3. Существуют ли два последовательных натуральных числа, сумма цифр каждого из которых делится на а) 11 б) 13 в)1018?

4. Придумайте число, которое оканчивается цифрами 1 и 7, делится на 17 и имеет сумму цифр, равную 17.

Правило крайнего

5. На окружности стоят 30 чисел, каждое из которых равно модулю разности двух следующих за ним по часовой стрелке чисел. Сумма всех чисел равна 1. Что это за числа и как они стоят на окружности?

6. Двое игроков по очереди закрашивают фигуры на доске 8х8: первый – квадрат 2х2, а второй – уголок из трех клеток. Уже закрашенную клетку перекрашивать нельзя. Кто не может сделать очередной ход – проиграл. Кто из игроков может обеспечить себе победу?

7. Коля и Витя играют в следующую игру. На столе лежит куча из 31 камня. Мальчики делают ходы поочерёдно, а начинает Коля. Делая ход, играющий делит каждую кучку, в которой больше одного камня, на две меньшие кучки. Выигрывает тот, кто после своего хода оставляет кучки по одному камню в каждой. Сможет ли Коля сделать так, чтобы выиграть при любой игре Вити?

8. На плоскости расположено несколько точек, все попарные расстояния между которыми различны. Каждую из этих точек соединяют с ближайшей. Может ли при этом получиться замкнутая ломаная?

9. Доказать, что не существует попарно различных натуральных чисел x, y, z, t, для которых было бы справедливо соотношение x^x + y^y = z^z + t^t.

10. На конгресс собрались учёные, среди которых есть друзья. Оказалось, что каждые два из них, имеющие на конгрессе равное число друзей, не имеют общих друзей. Доказать, что найдётся учёный, который имеет ровно одного друга из числа участников конгресса.

11. Доказать, что в бесконечной последовательности попарно различных натуральных чисел, больших единицы, найдётся бесконечное количество чисел, которые больше своего номера в этой последовательности.

12. На небе бесконечное число звёзд. Астроном приписал каждой звезде пару натуральных чисел, выражающую яркость и размер. При этом каждые две звезды отличаются хотя бы в одном параметре. Докажите, что найдутся две звезды, первая из которых не меньше второй как по яркости, так и по размеру.

сентября 2016

1. На клетчатой бумаге отмечены четыре узла сетки, образующие квадрат 4х4. Отметьте ещё два узла и соедините их замкнутой ломаной так, чтобы получился шестиугольник (не обязательно выпуклый) площади 6 клеток.

2. Разрежьте прямоугольник на 10 прямоугольников, чтобы никакие два соседних прямоугольника не образовывали прямоугольника. Можно ли так разрезать на 2016 прямоугольников?

3. Существуют ли два последовательных натуральных числа, сумма цифр каждого из которых делится на а) 11 б) 13 в)1018?

4. Придумайте число, которое оканчивается цифрами 1 и 7, делится на 17 и имеет сумму цифр, равную 17.