Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Двух нормально распределенных генеральныхСтр 1 из 2Следующая ⇒
Проверка гипотезы о равенстве дисперсий совокупностей (выборки независимые)
Задача проверки гипотезы о равенстве двух дисперсий на практике возникает довольно часто. Например, при анализе стабильности производственного процесса до и после введения технических усовершенствований (сравнивается колеблемость в выпуске продукции); при изучении точности измерительных приборов, инструментов, машин; при изучении степени однородности двух совокупностей в отношении какого-либо признака, например стажа рабочих; при сравнении рисков, связанных с отклонением доходности акций от ожидаемого уровня и т.д. Пусть даны две генеральные совокупности Х и Y, которые имеют нормальный закон распределения. Есть основание предположить, что их генеральные дисперсии равны, то есть выдвинуть нулевую гипотезу Н 0: D (Х) = D (Y). Проверим эту гипотезу при заданном уровне значимости . Для этого проведем независимые выборки из этих данных генеральных совокупностей с объемами, соответственно, равными nx и ny. По данным выборок находим оценки генеральных дисперсий - исправленные выборочные дисперсии , , которые будут несмещенными оценками, то есть и . Тогда нулевую гипотезу можно записать и так: Н 0: = . Практически же исправленные дисперсии, как правило, будут различаться. Наша задача выявить существенно (значимо) или несущественно (незначимо) это различие, так как: 1) если нулевая гипотеза справедлива, то есть D (Х) = D (Y), то различие исправленных дисперсий случайное (незначимо), например, за счет случайного отбора элементов выборок; 2) если нулевая гипотеза отвергнута, то различие исправленных дисперсий существенное (значимо), оно является следствием того, что генеральные дисперсии различны. Итак, необходимо выявить значимость различия исправленных дисперсий. Воспользуемся случайной величиной . Покажем, что случайная величина F имеет распределение Фишера - Снедекора, если нормально распределенные признаки Х и Y имеют равные дисперсии. Примем для определенности, что является оценкой , а - оценкой . Тогда . Следовательно, если , то случайная величина F имеет распределение Фишера - Снедекора и степенями свободы. Здесь n 1 - объем выборки, по которой рассчитана , n 2 - соответственно, . По выборочным данным находят . Далее нужно найти критическую точку F крит и критическую область, которая строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы. Чаще всего выбирают конкурирующую гипотезу следующего вида: Н 1: D (Х) > D (Y). Эта конкурирующая гипотеза определяет правостороннюю критическую область , которая строится, исходя из требования (F > F крит (a, k1, k2))= (здесь F крит (a, k1, k2) = F крит. пр (a, k1, k2)). Рис. 1 Критическую точку F крит(a, k 1, k 2) можно найти по таблице критических точек распределения Фишера - Снедекора (см. прил. 6 файла «Приложения»). Далее сравниваем наблюдаемое и критическое значение критерия и делаем вывод. При формулировке вывода руководствуются следующим правилом: если наблюдаемое значение критерия F набл попало в область принятия гипотезы (F набл < F крит(a, k 1, k 2)) (рис. 1), то нет оснований отвергать нулевую гипотезу по данным наблюдения D (Х) = D (Y), и расхождение между исправленными выборочными дисперсиями случайное; если же наблюдаемое значение критерия F набл попало в критическую область (F набл > F крит(a, k 1, k 2)), то нулевая гипотеза отвергается, а принимается конкурирующая гипотеза D (Х) > D (Y), то есть расхождение между исправленными выборочными дисперсиями значимо. Замечание. При проверке гипотезы о равенстве генеральных дисперсий при заданном уровне значимости a контролируется лишь ошибка первого рода, но нельзя ничего сказать о степени риска, связанного с принятием неверной гипотезы , то есть с возможностью ошибки второго рода. Пример 1. По двум независимым выборкам, объемы которых nx = 9 и ny = 16, извлеченным из нормально распределенных генеральных совокупностей Х и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии = 34, 02 и = 12, 15. При уровне значимости 0, 01 проверить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий. Решение. Совокупности Х и Y имеют нормальный закон распределения. Выдвигаем гипотезы: Н 0: D (Х) = D (Y), Н 1: D (Х) > D (Y). Проверяется нулевая гипотеза по выборочным данным. С этой целью сделаны выборки объемами nx = 9, ny = 16 и найдены точечные оценки генеральных дисперсий: = 34, 02 и = 12, 15. Гипотеза проверяется с помощью случайной величины , которая имеет распределение Фишера - Снедекора с k 1 = nх - 1 = 8 и k 2 = ny - 1 = 15 степенями свободы. Находим . По таблице критических точек распределения Фишера - Снедекора (прил. 6) находим F крит(0, 01; 8; 15) = 4, 0. Сравниваем F набл и F крит(0, 01; 8; 15). Так как F набл < F крит(0, 01; 8; 15), то есть F набл попало в область принятия гипотезы (рис. 2), то нет оснований отвергать нулевую гипотезу по данным наблюдения D (Х) = D (Y), а расхождение между исправленными выборочными дисперсиями случайное. Пример 2. Для сравнения точности двух станков-автоматов взяты две пробы (выборки), объемы которых n 1 = 10 и n 2 = 8. В результате измерений контролируемого размера отобранных изделий получены следующие результаты: xi: 1, 08; 1, 10; 1, 12; 1, 14; 1, 15; 1, 25; 1, 36; 1, 38; 1, 40; 1, 42; yj: 1, 11; 1, 12; 1, 18; 1, 22; 1, 33; 1, 35; 1, 36; 1, 38. Можно ли считать, что станки обладают одинаковой точностью при уровне значимости 0, 05? Решение. Признак Х - размер изделия, обработанного на первом станке-автомате. Признак Y - размер изделия, обработанного на втором станке-автомате. Пусть признаки имеют нормальный закон распределения. Выдвигаем гипотезы: Н 0: D (Х) = D (Y), Н 1: D (Х) > D (Y). Проверим нулевую гипотезу по выборочным данным с помощью случайной величины , которая имеет распределение Фишера - Снедекора с и степенями свободы, где n 1 - объем выборки, по которой найдена . Предварительно по выборочным данным вычислим исправленные выборочные дисперсии исследуемых признаков. Расчеты представим в таблице:
Найдем наблюдаемое значение критерия: »1, 51. По таблице критических точек распределения Фишера - Снедекора (прил. 6) находим F крит(a, k 1, k 2) = F крит(0, 05; 9, 7) = 3, 68. Сравниваем F набл и F крит(0, 05; 9; 7). Так как F набл < F крит(0, 05; 9; 7), то есть наблюдаемое значение критерия попало в область принятия гипотезы (рис. 2), нет оснований отвергать нулевую гипотезу по данным наблюдения D (Х) = D (Y), расхождение между исправленными выборочными дисперсиями случайное. Следовательно, по данным наблюдения станки обладают одинаковой точностью.
|