Действия с матрицами

Тема 2. Начальные сведения о матрицах.

Прямоугольной матрицей размера т ´ п называется система чисел, расположенных виде таблицы

состоящей из т строк и п столбцов. Кратко матрицу А записывают виде Числа , составляющие данную матрицу, называют ее элементами. Первый индекс у элемента указывает номер строки, а второй – номер столбца, на пересечении которых находится этот элемент.

Матрицу называют комплексной, если хотя бы один ее элемент является комплексным числом, и действительной (вещественной), если все ее элементы – действительные (вещественные) числа.

Две матрицы одинакового размера т ´ п считаются равными, если равны их соответствующие элементы, т.е. элементы, стоящие на одинаковых местах в этих матрицах. Таким образом, одно равенство между матрицами размера т ´ п равносильно системе тп равенств между из элементами.

Матрицу, состоящую из одной строки или одного столбца, называют соответственно вектор-строкой или вектор-столбцом

Произведение матрицы на число a называют матрицу aА, все элементы которой равны произведениям соответствующих элементов исходной матрицы на это число:

.

В частности, матрицу (–1) А называют противоположной матрице А и обозначают – А.

Линейной комбинацией вектор-строк (столбцов) одинакового размера называют вектор-стоку (столбец)

Например,

Сложение матриц и умножение их на числа обладают следующими свойствами при любых матрицах А, В, С и любых a, b:

1) А + В = В + А

(коммутативность),

2) А + (В + С) = (А + В) + С

(ассоциативность)

3) А + 0 = А, (существование

нулевого элемента)

4) А + (– А) = 0, (существование противоположного элемента)

5) 1 × А = А,

6) (a + b) × А = a А + b А,

7) a × (А + В) = a А + a В,

8) a × (b А) = (ab)× А

Умножение матриц определяется лишь для случая, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя.

Пусть

Произведение матриц А и В, заданных в указанном порядке, называется матрица , элементы которой определяются по следующему правилу:

т.е. элемент матрицы С равен сумме произведений элементов i -й строки матрицы А на соответствующие элементы k -го столбца матрицы В. Из этого определения следует, что матрица С будет матрицей размера т ´ р. Произведение двух матриц зависит от порядка сомножителей (!), т.е. произведение матриц не обладает свойством коммутативности.

Например, даны матрицы

. Найдем произведения АВ и ВА.

Если рассматривать матрицы не квадратные, то может случиться даже, что произведение матриц в одном порядке будет иметь смысл, а в обратном – нет. Например, произведение АВ матриц и существует, а произведение ВА не существует.

Умножение матриц обладает следующими свойствами:

1) А (ВС) = (АВ) С (ассоциативность),

2) a (АВ) = (aА) В = А (aВ),

3) С (А + В) = СА + СВ (левая дистрибутивность),

4) (А+В) С = АС + ВС (правая дистрибутивность).

К особенностям умножения матриц можно отнести существование делителей нуля, т.е. из условия АВ = О не следует, что А = О или В = О. Например, если возьмем ненулевые матрицы и , то результатом их произведения будет нулевая матрица (АВ = О).

Рассмотрим некоторые свойства операций транспонирования и комплексного сопряжения матриц:

1)

2)

3)

4)

5)

Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ = ВА.

Рассмотрим произвольную квадратную матрицу Х порядка п. По определению полагаем

Все натуральные степени одной и той же матрицы перестановочны между собой, т.е. .

Рассмотрим теперь какой-нибудь многочлен

от буквы х, коэффициенты которого некоторые числа. Если А – некоторая квадратная матрица, то выражение

называют значением многочлена f (x) при х = А или соответствующим многочленом от матрицы А.

Например, найдем f (A), если при условии, что .

Разобьем какую-нибудь матрицу А системой вертикальных и горизонтальных прямых на части. Эти части можно рассматривать как матрицы низших порядков, из которых сама матрица построена как из элементов. Они называются клетками или блоками матрицы А, а сама матрица А, разбитая определенным образом на клетки, называется соответственно клеточной или блочной. Одна и та же матрица может быть разбита на клетки различными способами, например

Клеточная матрица вида

где квадратные клетки, а О – нулевые матрицы надлежащих размерностей, называется клеточно-диагоналиной. Вместо этого говорят также, что А распадается на части или что А есть прямая сумма матриц

Операции над распавшимися матрицами приводятся к операциям над их диагональными клетками. Отсюда в свою очередь следует, что если f (x) – некоторый многочлен и А – клеточно-диагональная матрица с диагональными клетками то

.

Рассмотрим пример: зная матрицу А, найдем А ².