Системи числення

Системою числення, або нумерацією, називається сукупність правил і знаків, за допомогою яких можна відобразити (кодувати) будь-яке невід'ємне число. До систем числення висуваються певні вимоги, серед яких найбільш важливими є вимоги однозначного кодування невід'ємних чисел 0, 1, … з деякої їх скінченної множини — діапазону Р за скінченне число кроків і можливості виконання щодо чисел арифметичних і логічних операцій. Крім того, системи числення розв'язують задачу нумерації, тобто ефективного переходу від зображень чисел до номерів, які в даному випадку повинні мати мінімальну кількість цифр. Від вдалого чи невдалого вибору системи числення залежить ефективність розв'язання зазначених задач і її використання на практиці.

Розрізняють такі типи систем числення:

· позиційні

· змішані

· непозиційні

Історично першими виникли непозиційні системи числення. Вони ґрунтуються на кількісному підході до визначення числа, який для кодування тих чи інших кількостей застосовував особливі знаки — числа. Кожному такому знаку відповідав кількісний еквівалент. Наприклад, у так званій римській нумерації знаку X відповідала кількість елементів множини, яка дорівнювала 10.

У подальшому такими знаками-числами користувалися також і для одержання інших чисел. Так, якщо перед знаком X ставилась вертикальна риска, то отримували знак IX, який означав, що від десяти треба відняти одиницю і результат буде дорівнювати 9. Знаки, подібні X, називаються вузловими. Вони широко використовувалися в первісних непозиційних системах числення. Слід ще раз зазначити, що серед цих знаків не було такого, який би відповідав нулю. Це свідчить про те, що нуль у той час ще не був сформований як число.

Кількість чисел, яку можна було одержати з допомогою непозиційного кодування, через його складність і відповідно велику кількість чисел, що потребували запам'ятовування, була обмежена кількома сотнями, і, крім того, щодо цих чисел досить важко було виконувати арифметичні й логічні операції. Тому в подальшому з розвитком науки виникла потреба в більш ефективних системах числення, які б мали прості правила кодування чисел, та легко виконували б щодо них арифметичні й логічні операції. Такі системи чисел були створені і отримали назву позиційних.

У інформатиці прийнято оперувати наступними основними системами числення: двійковою, вісімковою та шістнадцятковою. Основа системи числення − це кількість символів, які використовуються для запису числа.

· У десятковій системі числення для запису чисел використовують 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;

· У двійковій системі − 2 цифри: 0, 1;

· У вісімковій системі − 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7;

· У шістнадцятковій системі − 10 арабських цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 та латинські літери: A, B. C, D, E, F.

Двійкова система числення — це позиційна система числення, база якої дорівнює двом та використовує для запису чисел тільки два символи: зазвичай 0 (нуль) та 1 (одиницю). Числа, представлені в цій системі часто називають двійковими або бінарними числами.

Завдяки тому, що таку систему доволі просто використовувати велектричних схемах, двійкова система отримала широке розповсюдження у світі обчислювальних пристроїв.

Рахувати у двійковій системі не складніше, ніж у будь-якій іншій. Скажімо, у десятковій системі, коли число у поточному розряді сягає десяти, то розряд обнуляється і одиниця додається до старшого. Наприклад: 9+1=10, 44+7=51; Аналогічним чином у двійковій системі: коли число в розряді сягає двох — розряд обнуляється і одиниця додається до старшого розряду. Тобто: 1+1=10. Зверніть увагу, «10» у цьому записі — двійкове число, у десятковій системі це число записується як «2». А десяткове 9+1=10 у двійковій системі буде виглядати так: 1001+1=1010 (після додавання одиниці число в останньому розряді дорівнює двом, тож розряд обнуляється і одиниця додається до передостаннього(старшого) розряду).

Таблиця додавання

Пиклад додавання " стовпчиком" (1410 + 510 = 1910 або 11102 + 1012 = 100112):

Таблиця віднімання

Таблиця множення

Конвертування двійкових чисел у десяткові

Припустимо, дано двійкове число 1100012. Для конертування в десяткове запишіть його як суму за розрядами наступним чином:

1 * 25 + 1 * 24 + 0 * 23 + 0 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 = 49

Теж саме але трохи по-іншому:

1 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 49

Вісімко́ ва систе́ ма чи́ слення — позиційна цілочисельна система числення з основою 8. Для представлення чисел в ній використовуються цифри 0 до 7.

Вісімкова система часто використовується в галузях, пов'язаних з цифровими пристроями. Характеризується легким переводом вісімкових чисел у двійкові і назад, шляхом заміни вісімкових чисел на триплети двійкових. Раніше широко використовувалася в програмуванні і взагалі комп'ютерної документації, проте в наш час майже повністю витіснена шістнадцятковою.

Таблиця переведення вісімкових чисел в двійкові

Шістнадцяткова систе́ ма чи́ слення — це позиційна система числення з основою 16. Тобто кожне число в ній записується за допомогою 16-ти символів. Арабські цифри від 0 до 9 відповідають значенням від нуля до дев'яти, а 6 літер латинської абетки A, B, C, D, E, F відповідають значенням від десяти до п'ятнадцяти. Шістнадцяткова система числення широко використовується розробниками комп'ютерів та програмістами.

Цю систему часто називають також Hex (початкові літери англ. hexadecimal — шістнадцятковий).

Декілька різних позначень використовуються для позначення шістнадцяткових констант в комп'ютерних мовах. Префікс «0x» широко поширений через його використання в Unix і C (і пов'язаних з ними операційних систем і мов). Крім того, деякі автори позначають шістнадцяткові значення, використовуючи суфікс чи індекс. Наприклад, можна було б написати 0x2AF3 або 2AF3₁₆, залежно від вибору способу позначень.

Як приклад, для шістнадцяткового числа 2AF3₁₆ знайдемо відповідне число в десятковій системі числення. Зауважимо, що 2AF3₁₆ дорівнює сумі (2000₁₆ + A00₁₆ + F0₁₆ + 3₁₆), якщо розкласти число на послідовністьпозиційних значень елементів числа, то перетворення кожного елемента в десяткове значення, можна описати так:

(2₁₆  ×   16³) + (A₁₆  ×   16²) + (F₁₆  ×   16¹) + (3₁₆  ×   16⁰) =
(2  ×   4096) + (10  ×   256) + (15  ×   16) + (3  ×   1) = 10995.

Кожна шістнадцяткова цифра представляється чотирма бінарними цифрами (бітами), і основне застосування шістнадцяткового запису — це зручний запис двійкового коду. Одна шістнадцяткова цифра є ніблом, який є половиною з октету або байту (8 біт). Наприклад, значення байт лежить в діапазоні від 0 до 255 (в десяткових числах), але може бути більш зручно представити у вигляді двох шістнадцятирічних цифр в діапазоні від 00 до FF. Шістнадцяткова система також широко використовується для представлення адресації пам'яті комп'ютера.

Римська система числення, або Римські цифри — непозиційна система числення, що використовувалися стародавніми римлянами.

Дана система базується на використанні особливих знаків (літер латинського алфавіту) для десяткових розрядів I = 1, X = 10, С = 100, М = 1000 та їх половин V = 5, L = 50, D = 500. Натуральні числа записуються за допомогою повторення цих цифр. При цьому, якщо більша цифра стоїть перед меншою, то вони додаються (принцип додавання), якщо ж менша перед більшою, то менша віднімається від більшої (принцип віднімання). Останнє правило застосовується тільки для уникнення чотириразового повторення однієї цифри. Наприклад, I, X, С ставляться відповідно перед X, С, М для позначення 9, 90, 900 або перед V, L, D для позначення 4, 40, 400. Наприклад, VI = 5+1 = 6, IV = 5 — 1 = 4 (замість IIII). XIX = 10 + 10 — 1 = 19 (замість XVIIII), XL = 50 — 10 =40 (замість XXXX), XXXIII = 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 33 тощо.

Ця система числення на сьогодні майже не застосовується, бо виконання арифметичних дій над багатозначними числами в цій системі дуже незручне. Тим не менш, її використовують для позначення розділів і частин законів, томіввидань, століть, інколи років, днів тижня, місяців у датах (1.V.1975), на циферблатах деяких годинників, порядкових числівників, а також похідних, номер яких більший за три (y^IV, y^V), а також з естетичною метою.

Заняття № 3

Предмет „ Інформатика”

Тема: Інформаційна система

Цілі:

1) Навчальна: ознайомитись з історією розвитку ЕОМ, принципом фон Неймана, характеристикою різних поколінь ЕОМ, конфігурацією комп’ютерної системи;

2) Виховна: виховувати старанність, уважність.

Зміст

1. Історія розвитку ЕОМ.
2. Характеристика різних поколінь ЕОМ.
3. Принцип фон Неймана.
4. Конфігурація комп’ютерної системи. Інформаційна система.
1. структура ПК;
2. основні етапи роботи ПК;

Історія розвитку інформатики, ЕОМ

Розглянемо коротенько історію людської цивілізації з точки зору розвитку засобів опрацювання інформації, які змінювались завдяки технічному прогресу. В давні до технічні часи існував безпосередній спосіб передачі знань − від джерела знань до їх приймача, тобто від людини-вчителя до учня. Разом із виникненням писемності з'явилась можливість нагромаджувати та пересилати інформацію, яка стала відокремленою від джерела знань. Засоби зберігання і передачі інформації вдосконалювалися, створювались бібліотеки, розвивалася пошта. Революційним кроком в історії інформатики став винахід телеграфу та телефону, що дало можливість передавати повідомлення без матеріального носія на далекі відстані по дроту. З винайденням радіо інформація стала передаватися навіть без застосування дроту. Бурхливий розвиток електротехніки та акустики створив кардинально нові засоби зберігання інформації: грамофон, патефон, магнітофон, що стали поштовхом до створення сучасних носіїв інформації − магнітних та лазерних дисків, які віддалено нагадують своїх предків − магнітофон, за принципом магнітного запису, та грамофон, за принципом розташування даних.

Вирішальним явищем у розвитку інформатики було створення електронно-обчислювальної машини (ЕОМ). І відтоді історія інформатики стала історією розвитку обчислювальної техніки, тому, що тільки ЕОМ сьогодні спроможна опрацювати величезні " гори" інформації.

Характеристика різних поколінь ЕОМ

Усі етапи розвитку ЕОМ умовно ділять на покоління, які змінюють одне одного. Кожне покоління визначається сукупністю елементів, з яких будували обчислювальні машини, − елементною базою. Зміна елементної бази була причиною зміни параметрів устаткування, логічної організації і програмного забезпечення ЕОМ. З кожним новим поколінням збільшувалась швидкодія, зменшувались споживана потужність і маса ЕОМ, підвищувалась їх надійність. При цьому зростали " інтелектуальні" можливості машин – здатність " розуміти" людину і забезпечувати їй ефективні засоби для використання ЕОМ, можливість перевірки стану автоматизації введення програми.

ЕОМ першого покоління − це машини, основними деталями яких були електронні лампи. Ці машини розробляли до початку 60-х років. Вони мали порівняно невелику швидкодію, значні габарити і масу, споживали багато електроенергії, їх функціональні можливості були обмежені. Основний недолік машин першого покоління − низька надійність, зумовлена невисокою надійністю електронних ламп. Ця обставина гальмувала розширення можливостей машин, бо, щоб збільшити їх, треба було ускладнювати конструкцію машин і, отже, збільшувати кількість ламп.

Застосування напівпровідникових приладів дало можливість значно підвищити надійність ЕОМ, зменшити їх масу, габарити та споживану потужність. Напівпровідникові елементи – транзистори, були основою ЕОМ другого покоління. Ці ЕОМ порівняно з ЕОМ першого покоління мали великі обчислювальні можливості і швидкодію.

Вимоги надійності, компактності, технологічності сприяли створенню елементної бази ЕОМ − інтегральних мікросхем (ІМС). Їх виконують на кристалах кремнію. Ці машини містять усю сукупність напівпровідникових приладів (до кількох сотень), конденсаторів, резисторів і зв'язків між ними. З появою інтегральних схем почалися розробки ЕОМ третього покоління, які характеризуються розширеним набором різного устаткування для введення, виведення і зберігання інформації.

ЕОМ четвертого покоління почали розробляти в 80-х роках, їх елементна база − великі інтегральні схеми (ВІС), в яких на одній пластинці напівпровідника налічується кілька сотень тисяч елементів. Розміри ВІС не перевищують кількох сантиметрів. Застосування таких схем підвищує надійність ЕОМ і дає можливість збільшити їх швидкодію до кількох десятків мільйонів операцій за секунду. ЕОМ четвертого покоління − це потужні обчислювальні комплекси, об'єднані в єдині центри і з'єднані з численними абонентами сучасними лініями зв'язку.

ЕОМ п'ятого покоління почали розробляти в 90-х роках, їх елементна база основана на використанні мікропроцесорів.