Тождественные преобразования. Решение уравнений

МАТЕМАТИКА

Задание №1 для 8-х классов (2016 –2017 учебный год)

§1. Тождественные преобразования

В математике встречаются два вида математических выражений – числовые выражения и выражения с переменными.

Выражения вида 2 x +1, 3 x 2 + 5 называются выражениями с одной переменной. Выражение может содержать и несколько переменных, например, 2 x 2 y + xyz 3, 5 a 2 b (x - y)2, 3 t 2 + v 3 +1.

Если в выражение с переменными подставить вместо переменных конкретные числа, то получим числовое выражение. После выполнения всех действий с числами получится число, которое называют значением выражения с переменными при выбранных значениях переменных.

Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, т. е. выполняются все указанные действия, называются допустимыми зна- чениями переменных.

Значения двух выражений с переменными при одних и тех же зна- чениях переменных называются соответственными значениями вы-

ражений. Например, соответственными значениями выражений 2 x 2 +1

и 3 x 3 + 5 x +1 при x = 1 являются числа 3 и 9.

Два выражения (числовые или с переменными), соединенные знаком

=, называют равенством. Числовые равенства могут быть верными и неверными. Равенства с переменными могут быть верными при одних значениях переменных и неверными при других значениях.

Равенство, верное при всех допустимых значениях, входящих в него переменных, называется тождеством.

Два выражения, принимающие равные соответственные значения при всех допустимых значениях переменных, называют тождественно равными.

Замену одного выражения другим, ему тождественно равным, назы- вают тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.

Выражения, составленные из чисел и переменных с помощью ко- нечного числа знаков арифметических операций (сложения, вычита- ния, умножения, деления), называются рациональными выражениями. Рациональное выражение называется целым, если оно не содержит де- ления на выражение с переменными.

Примерами целых выражений являются одночлены и многочлены.

Одночленами называются числа, произведения чисел и натуральных

степеней переменных, например, выражения 9, одночленами.

25 x 2, 34 abxy 4 являются

Для приведения одночлена к стандартному виду перемножают все

входящие в него числовые множители, а произведения одинаковых пе- ременных (или их степеней) заменяют степенью этой переменной.

Числовой множитель называется коэффициентом одночлена, а сум- му показателей степеней переменных называют степенью одночлена. Если одночлен является числом или произведением чисел, то его назы- вают одночленом нулевой степени.

Например, стандартным видом одночлена 0, 3 bxy (-2) a 2 x 2 y 3 является

одночлен -0, 6 a 2 bx 3 y 4, число (-0, 6) является его коэффициентом, сте-пень одночлена равна 10.

Многочленом называют сумму одночленов. Одночлен является част- ным случаем многочлена.

Одночлены называют подобными одночленами, если после их приведения к стандартному виду они оба либо совпадают, либо отличаются коэффициентами. Например, одночлены 2 ax 2 y и -5 ax 2 y являются подобными.

Преобразование многочлена, при котором производится сложение и вычитание подобных членов, называется приведением подобных.

Например, 2 ax + 3 by - ax + 0, 5 by = ax + 3, 5 by.

Для приведения многочлена к стандартному виду каждый из вхо- дящих в него одночленов заменяют одночленом стандартного вида и приводят подобные члены.

Степенью многочлена называют наибольшую из степеней одночле- нов, составляющих многочлен после приведения его к стандартному виду, например, стандартным видом многочлена

2 ax 5 + xy 3 + 3 xy 3 - 2 ax 5 + 5

является многочлен 4 xy 3 + 5, его степень равна 4.

Произведение двух многочленов равно сумме произведений каждого члена первого многочлена на каждый член второго многочлена.

Например, (x + y)(2 x 2 - y) = 2 x 3 + 2 x 2 y - xy - y 2.

Разложить многочлен на множители означает представить его в виде произведения многочленов.

При разложении многочлена на множители используют метод выне- сения общего множителя за скобки и метод группировки членов.

При тождественных преобразованиях многочленов часто использу- ют формулы, носящие название «формулы сокращенного умножения»:

1. a 2 - b 2 = (a - b)(a + b). 2. a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2).

3. a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2). 4. (a + b)2 = a 2 + 2 ab + b 2.

5. (a - b)2 = a 2 - 2 ab + b 2. 6. (a + b)3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3.

7. (a - b)3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 ab 2 - b 3.

§2. Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена

Выражения вида 2 x 2 + 3 x + 5, - 4 x 2 + 5 x + 7 носят название квадрат-

ного трёхчлена. В общем случае квадратным трёхчленом называют вы-

ражение вида

a ¹ 0.

ax 2 + bx + c, где

a, b, c - произвольные числа, причём

Рассмотрим квадратный трёхчлен

x 2 - 4 x + 5. Запишем его в таком

виде:

x 2- 2 × 2 × x + 5. Прибавим к этому выражению 22

и вычтем

22,

получаем: x 2- 2 × 2 × x + 22- 22+ 5.

Заметим, что

x 2-2× 2× x +22=(x -2)2,

поэтому

x 2-4 x +5=(x -2)2-4+5=(x -2)2+1.

Преобразование, ко-

торое мы сделали, носит название «выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена».

§3. Уравнения с одной переменной

Равенство, содержащее переменную, называют уравнением с одной переменной или уравнением с одним неизвестным. Например, уравне- нием с одной переменной является равенство 2(3 x + 5) = 4 x -1. Корнем

или решением уравнения называется значение переменной, при кото- ром уравнение обращается в верное числовое равенство. Например, число 1 является решением уравнения 3 x + 5 = 9 x -1. Уравнение x 2 +1 = 0 не имеет решений, т. к. левая часть уравнения всегда больше

нуля. Уравнение (x -1)(x + 2) = 0 имеет два корня:

x 1 = 1 и

x 2 = -2.

Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Уравнения называются равносильными, если каждое решение перво- го уравнения является решением второго и каждое решение второго уравнения является решением первого или если оба уравнения не име- ют решений.

При решении уравнений используют следующие свойства:

1) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;

2) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное дан- ному.

Уравнение вида ax = b, где x – переменная, a и b – некоторые чис-

ла, называется линейным уравнением с одной переменной.

Если a ¹ 0,

то уравнение имеет единственное решение

x = b.

a

Если

a = 0

и b = 0,

то уравнению удовлетворяет любое значение x,

а если

a = 0,

а b ¹ 0, то уравнение не имеет решений, т. к. 0 × x = b не

выполняется ни при одном значении переменной.

§4. Модуль числа

Дадим определение модуля числа. Если число положительное, то

его модуль равен самому числу. Если число отрицательное, то его модуль равен противоположному числу.

Модуль нуля равен нулю.

Запишем определение модуля таким образом:

Свойство 1. Для любого числа x выполняется условие x ³ 0.

Свойство 2. Для любых чисел x и y выполняется условие

xy = x × y.

Контрольные вопросы

1(1). Запишите произведение одночленов

в виде одночлена стандартного вида. Определите степень этого одночлена.

2(1). Запишите разность многочленов

(2 x + y)(2 x - y) -(2 x +3 xy)2

в виде многочлена стандартного вида. Определите степень полученного многочлена.

3(2). Выделите полный квадрат из квадратного трёхчлена:

25 x 2 + 4 x - 2.

4(2). Разложите на множители квадратный трёхчлен:

5 x 2 +14 x - 3.

5(4). Разложите на множители числитель и знаменатель дроби

4 x 2 + 3 x -10

и сократите её.

6(4). Решите уравнение: а

а) 3 x -1- 2 x +1= 2 x - 2;

2 3

б) ½ 7 x - 3½ = 4;

в) (5 x -7)(3 x +5) =0;

г) ½ 2 x - 3½ = ½ 3 x + 5½.

7(3). Являются ли данные уравнения равносильными:

а) 3 x -7 =2 и 2(3 x -1)-2 x =10;

б) 2 x - 3 = -5 и 4 x 2 + 9 = 0;

в) 4 x -9 =1 и (x -2)(2 x -5) =0.

8(2). Решите уравнение

ax - 2 x - 3 a + 6 = 0

для любого значения параметра a.

9(3). Постройте график функции:

а) ; б) .

10(2). Представьте в виде квадрата многочлена выражение:

b 4 + 4 b 2 c 2 - 2 b 2 - 4 c 2 + 4 c 4 +1.

Задачи

1(3). Вычислите (не используя калькулятор):

.

2(6). Упростите выражение:

.

3(2). Разложите на множители многочлен:

а) x 4 - 20 x 2 + 64;

б) 2 x 2 + 3 xy - 2 y 2;

в) x 4 + 4.

4(2). Найдите наименьшее значение квадратного трёхчлена:

2 x 2 - 3 x + 4.

5(3). Найдите наибольшее значение квадратного трёхчлена:

-3 x 2 + 4 x -1.

6(3). Решите уравнение:

= 1.

7(3). Решите уравнение

(2 a -7)(a +5) x =(2 a -7)(3 a +1)

для любого значения параметра a.

8(4). Постройте график функции:

Используя график функции, укажите, сколько корней имеет уравнение y (x) = a при различных значениях параметра a.

9(3). Задано двузначное число. Число его десятков на 4 больше чис- ла его единиц. Если это число разделить на сумму его цифр, то в част- ном получится 7 и в остатке 3. Найдите это число.

10(3). Имеется два одинаковых по весу куска сплавов с различным процентным содержанием серебра. Если сплавить половину первого куска со вторым, то получившийся сплав будет содержать 40% серебра, а если сплавить первый кусок с половиной второго, то новый сплав бу- дет содержать 50% серебра. Каково процентное содержание серебра в каждом из кусков?

11(4). Два брата ходят из школы домой с одинаковой скоростью. Однажды через 15 мин после выхода из школы первый побежал в шко- лу и, добежав до неё, немедленно бросился догонять второго. Остав- шись один, второй продолжал идти домой в два раза медленнее. Когда первый брат догнал второго, они пошли с первоначальной скоростью и пришли домой на 6 мин позже, чем обычно. Во сколько раз скорость бега первого брата больше обычной скорости ходьбы братьев.

ВАЖНО! Контрольные вопросы и задачи необходимо выполнить в отдельной тетради 12 л.

На лицевой стороне обложки тетради напишите

Задание №1 по математике

ФИ

Начертите две таблицы: