Еквівалентні функції

Якщо функція замінюється на де якому кроці через , то різницяь називається абсолютною похибкою, а відношення — відносною похибкою зробленої заміни. Якщо вивчається поведінка функції при то часто доцільно замінити її функцією такої, що 1) функція в певному значенні більш проста, ніж функція ; 2) абсолютна похибка прямує до нуля при

В цьому випадку говорять, що наближає функцію поблизу точки . Такою властивістю володіють наприклад, всі нескінченно малі при функції f і g. Нижче показано, що серед них лише ті, які еквівалентні між собою:

володіють тією властивістю, що не тільки абсолютна похибка , але і відносна прямує до нуля при

В цьому значенні функції, еквівалентні заданій, наближають її краще, ніж інші функції навіть того ж порядку, що і дана при

Наприклад, функції є нескінченно малими при так само як і а тому абсолютні похибки при заміні sin кожна з них прямує до нуля при

Але лише одна зі всіх перерахованих функцій, а саме: має ту властивість, що відносна похибка при заміні цією функцією прямуватиме до нуля при

Прямування відносної похибки до нуля при можна записати, використовуючи символ “o мале»:

Сформулюємо сказану характеристичну властивість еквівалентних функцій у вигляді теореми.

Теорема 1. Для того, щоб функції і були еквівалентними при необхідно і достатньо, щоб при виконувалася умова

(1.32)

Доведення необхідності. Нехай при тобто

де . Тоді

де при , тобто маємо (1.32).

Доведення достатності. Нехай виконується умова (1.32), тобто

де . Тоді

де при тобто при

Отже, ми показали, що функції і еквівалентні при тоді і тільки тоді, коли відносна похідна (або прямує до нуля при )

Наслідок. Нехай де с - стала. Тоді f~cg і g=cf+o(f) при

Доведення. Якщо , то , і значить при . Звідси, з теореми 1 маємо а значить (див. кінець п. 1.2) .

Теорема 2. Нехай ~ і ~ при Тоді якщо існує

(1.33)

то існує і , причому

(1.34)

Доведення. Умова при означає, що

де , а умова при -що , де . Крім того, оскільки існує границя (1.33), функція визначена в деякому проколеному околі точки і, отже, всюди в цьому околі виконується нерівність . Оскільки і, очевидно, в деякому проколеному околі точки , то і функція володіє тією ж властивістю. Тому функція визначена в деякому проколеному околі точки .

Тепер маємо:

Оскільки обидві частини рівності (1.34) рівноправні, то з доведеної теореми виходить, що границя, що стоїть в лівій частині, існує тоді і тільки тоді, коли існує границя в правій частині, причому у разі їх існування вони співпадають. Це робить дуже зручним застосування теореми 2 на практиці: її можна використовувати для обчислення меж, не знаючи наперед, існує чи ні дана межа.

МЕТОД ВИДІЛЕННЯ ГОЛОВНОЇ ЧАСТИНИ ФУНКЦІЇ І ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ ДО ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ.

Нехай -функції, визначені в деякій проколеному околі точки . Якщо функція представлена у вигляді

то функція називається головною частиною функції при прамуючому до

Приклади. 1. Головна частина функції , при рівна , бо

2. Якщо то функція є головною частиною многочлена при , бо

Якщо задана функція , то її головна частина не визначається однозначно: будь-яка функція , еквівалентна , є її головною частиною. Наприклад, нехай . Оскільки, з одного боку при , а з другого боку то . В першому випадку головною частиною можна вважати , в другому . Проте, якщо задається певним чином головної частини, то при його вигідному виборі можна добитися того, що головна частина вказаного вигляду буде визначена однозначно.

Зокрема, справедлива наступна лема.

Лема 5. Якщо функція володіє при , головною частиною вигляду , де А і k - сталі, то серед всіх головних частин такого вигляду вона визначається єдиним чином.

Дійсно, нехай, при ,

і

Тоді ; тому , тобто

що справедливе лише у випадку і .

Поняття головної частини функції корисно при вивченні нескінченно малих і нескінченно великих і з успіхом використовується при розв’язанні різноманітних задач математичного аналізу. Досить часто вдається нескінченно малу складного аналітичного вигляду замінити, в околі даної точки, з точністю до нескінченно малих більш високого порядку, більш простою функцією. Наприклад, якщо вдається представити у вигляді , то це означає, що з точністю до нескінченно малих більш високого порядку, ніж , нескінченно мала поводиться в околі точки , як степенева функція .

Покажемо на прикладах, як метод виділення головної частини нескінченно малих застосовується до обчислення границь функцій. При цьому широко використовуватимемо отримані нами співвідношення еквівалентності (1.26).

Нехай вимагається знайти межу (а значить, і довести, що він існує))

Використовуючи доведену вище (див. (1.26)) еквівалентність ~ при , маємо при , тому (див. теорему 1)) . Проте і , а отже

Далі , унаслідок чого

Очевидно також, що

З асимптотичої рівності , отримаємо

з

а з

Всі ці співвідношення виконуються при . Тепер маємо

тому

Але при , і, значить, по теоремі 2,

Таким чином, шукана границя існує і рівний 2.

При обчисленні границя функцій за допомогою методу виділення головної частини слід мати на увазі, що у випадках, не розглянутих в п. 1.3, взагалі кажучи, не можна нескінченно малі замінювати еквівалентними їм. Так, наприклад, при відшуканні границь вираження

було б помилкою замінити функцію эквивалентній їй при функцією .

Для відшукання границь виразів вигляду цілообразно границю їх логарифмів. Розглянемо подібний приклад. Знайдемо границю . Зауважуючи, що