Замечание.

1) На плоскости единичными векторами являются векторы:

= i, = j.

2) В трёхмерном пространстве единичными векторами являются векторы:

= i, = j, = k.

Теорема 2.1. ( Критерий линейной зависимости).

Система векторов , где , линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов этой системы является линейной комбинацией предшествующих векторов.

Другими словами. Для того чтобы векторы , где , были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из них являлся линейной комбинацией остальных.

Доказательство.

Необходимость. Пусть линейно зависимая система векторов, тогда существуют , такие, что и не все . Пусть - наибольший индекс, такой, что скаляр . Тогда из следует, что значит . Получили, что - линейная комбинация предшествующих векторов.

Достаточность. Пусть - линейная комбинация векторов . Выпишем коэффициенты: - не все , поэтому система векторов линейно зависима.

Теорема доказана.

Геометрическая интерпретация линейной зависимости сформулирована в теореме 2.2 и теореме 2.3.

Теорема 2.2. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Теорема 2.3. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Теорема 2.4. Любые четыре вектора линейно зависимы.

Доказательство этих теорем – самостоятельно (см. стр. 10-11 лекции 2 (Крищенко А.П., Канатников).

Теорема 2.2. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.