Последовательность решения задачи

РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ

(построение эпюр N, σ и λ)

Последовательность решения задачи

1. Разбить брус на участки, начиная от свободного конца. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы, и места изменения размеров поперечного сечения.

2. Определить по методу сечений продольную силу для каждого участка по формуле

å F_{i z} = 0;

ипостроить эпюру продольных сил N. Проведя параллельно оси бруса базовую (нулевую) линию эпюры, отложить перпендикулярно ей в произвольном масштабе получаемые значения. Через концы ординат провести линии, проставить знаки и заштриховать эпюру линиями.

3. Для построения эпюры нормальных напряжений определяем напряжения в поперечных сечениях каждого из участков по формуле

_i =

В пределах каждого участка напряжения постоянны, т. е. эпюра на данном участке изображается прямой, параллельной оси бруса.

4. Перемещение свободного конца бруса определяем как сумму удлинений (укорочений) участков бруса

λ = å Δ l_i,

вычисленных по формуле Гука

Δ l_i = ×

Пример. Для данного ступенчатого бруса (рис.1) построить эпюру продольных сил, эпюру нормальных напряжений и определить перемещение свободного конца, если Е = 2× 10⁵МПа;

A₁=1, 9 см²; A₂ = 3, 1 см²;

F₁ = 30 кН; F₂ = 38 кН; F₃ = 42 кН

Рис. 1 - Схема задачи

Решение:

1. Отмечаем участки, как показано на рис. 2

Рис. 2 - Схема участков

2. Определяем значения продольной силы N на участках бруса используя уравнение равновесия å F_{i z} = 0:

N_I = 0;

N_II = F₁ = 30 кН;

N_III = F₁ = 30 кН;

N_IV = F₁ – F₂ = - 8 кН;

N_V = F₁ - F₂ - F₃ = - 50 кH

Строим эпюру продольных сил (рис. 3).

Рис. 3 - Эпюра продольных сил

3. Вычисляем значения нор­мальных напряжений:

_I = = = 0 МПа

_II = = = 158 МПа

_III = = = 96, 8 МПа

_IV = = - = - 25, 8 МПа

_V = = - = - 163 МПа

Строим эпюру нормальных напряжений (рис. 4).

Рис. 4 - Эпюра нормальных напряжений

4. Определяем перемещение свободного конца:

,

Δ l_I = × = × = 0 мм

Δ l_II = × = × = 0, 394 мм

Δ l_III = × = × = 0, 0484 мм

Δ l_IV = × = - × = - 0, 0516 мм

Δ l_V = × = - × = - 0, 161 мм

λ = å Δ l_i = 0 + 0, 394 + 0, 0484 - 0, 0516 - 0, 161 = 0, 23 мм

Брус удлиняется на 0, 23 мм.

Задача 5. Двухступенчатый стальной брус, длины ступеней которого указаны на рисунке 5, нагружен силами F ₁ и F ₂. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса. Определить удлинение (укорочение) бруса, приняв Е = 2 × 10⁵ МПа.

Осевые размеры даны в мм.

Данные своего варианта взять из таблицы 1.

Таблица 1 - Исходные данные

Рис. 5 - Схема задачи