Пример 3

Какова вероятность совпадения дней рождения у любых двух человек, например, из вашей группы в 30 студентов?

На первый взгляд кажется, что поскольку в году 365 дней, то возможность такого совпадения

весьма невелика, что-нибудь около = 0, 08, или 8 %. Это грубая ошибка. На самом деле следует рассуждать так.

Вначале определим вероятность празднования дня рождения какого-нибудь студента в один из дней года. Здесь число всех возможных случаев – это число возможных дней рождения в году – 365. Число интересующих нас случаев – дней рождения одного человека в году – тоже 365. Вероятность празднования дня рождения студентом в один из дней года равна = 1.

Действительно, можно с полной уверенностью сказать, что любой человек за год отпразднует свой день рождения.

Теперь возьмем любого второго студента и найдем вероятность того, что его день рождения не совпадает с днем рождения первого студента. Число всех возможных случаев – возможных дней рождения в году – остается здесь, конечно, тем же – 365, а вот число интересующих нас случаев уменьшится на 1 – ведь тот день, когда праздники могут совпадать, надо выбросить. Итак, вероятность несовпадения дня рождения второго студента с днем рождения

Затем возьмем любого третьего студента вашей группы и найдем подобным же образом, что вероятность несовпадения с днем рождения

И далее для всех студентов группы – в том же духе. Зададим себе такой вопрос: а какова вероятность того, что и у первого, и у второго, и у третьего, и у всех остальных студентов дни рождения не совпадут? Вероятности таких событий находят с помощью умножения.

Вероятность несовпадения дней рождения у

Число сомножителей равно общему числу студентов. В нашем случае таких сомножителей должно быть 30. Стоит перемножить, и получится, что вероятность несовпадения дней рождения у всех тридцати студентов равна 0, 29.

А то, что нас интересует, – вероятность совпадения – мы найдем путем вычитания этой цифры из единицы.

Вероятность совпадения дней рождения у любых двух студентов из тридцати равна 1 - 0, 29 = 0, 71.

Это высокая вероятность. Значит, почти наверняка в любом коллективе, где 30 человек, есть люди, родившиеся в один день.

А как быть тем коллективам, где число людей 10, 40 или 50, т. е. отличается от 30? На этот случай пригодится готовая таблица вероятностей совпадения дней рождения для разных групп людей – от 5 до 100 и более человек (табл. 8.6). Как она рассчитывается, мы уже знаем.

Таблица 8.6