Метод Эйлера

Этот метод является простейшим численным методом решения задачи Коши. Рассмотрим его на примере решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка (1) с соответствующим начальным условием.

Расчетную формулу метода Эйлера можно получить, используя разложение функции и(х) в ряд Тейлора в окрестности некоторой точки x_i:

Если приращение h мало (то есть h < < x_i), то члены ряда, начиная со сла-гаемого, включающего h во второй степени, могут быть отброшены как малые величины. Тогда из (3) в первом приближении получим:

Воспользуемся формулой (4), применив ее к единственной известной из условия задачи точке x₀. Найдем в x₀ производную du(x₀ )/dx, подставив (2) в (1):

Подставив последнее выражение в (4) и полагая x_i =x₀, получим:

или, сокращая обозначения, в окончательном виде:

Таким образом, (4) при известном значении функции u₀ = u(x₀) в начальной точке x₀ позволяет найти приближенное значение и₁ = и(x₁) при малом смещении h от x₀. На рис. 1 графически показан начальный шаг решения методом Эйлера.

Решение можно продолжить, используя найденное значение функции и₁ для вычисления следующего значения – и₂. Распространяя эти рассуждения на последующие точки, запишем расчетную формулу метода Эйлера в виде

Из рис. 1 видно, что ошибка метода Эйлера на шаге связана с используемой линейной аппроксимацией и(х). Хотя тангенс угла наклона касательной к кривой точного решения в точке (x₀, u₀) известен и равен du(x₀)/dx, он изменяется при смещении от x₀ до x₁. Следовательно, при сохранении начального наклона касательной на всем интервале h расчет и₁ выполняется с погрешностью.

Ошибка метода Эйлера на каждом шаге имеет порядок h², так как члены, содержащие h во второй и более высоких степенях, отбрасываются - см. (3) и (4). Уменьшая h можно снизить локальную ошибку на шаге.