Абстрактная алгебра

I. Множество замкнуто относительно некоторой операции, если результат действия операции на элементы этого множества дает снова элемент из . Например, множество целых чисел замкнуто относительно операций сложения, вычитания и умножения (сумма, разность и произведение целых чисел также целое число) и не замкнуто относительно операций извлечения корня и деления ( и не целые числа).

II. Бинарная операция на множестве действие, ставящее в соответствие упорядоченной паре элементов и из элемент из . О бозначение . Например, сложение на множестве целых чисел: .

Пример1. Бинарная операция деления ( разделить на ) выполнима на множестве пар натуральных чисел:

1) (16, 2), (16, 4), (16, 32), (16, 16) (невыполнима, т.к. 16 не делится на 32)

2) (36, 2), (36, 3), (36, 4), (36, 9) (выполнима, т.к. 36 лелится на числа 2, 3, 4 и 9)

Пример2. На множестве положительных целых четных чисел всегда выполнимы действия

1) сложения и вычитания (нет, так как не положительно)

2) умножения и деления (нет, так как не целое)

3) сложения и умножения (да, сумма и произведение положительных целых четных чисел также положительное целое четное число)

4) умножения и вычитания (нет, не положительно).

Пример3. На множестве натуральных чисел определены операции

1) (где умножение) (нет, так как не натуральное число)

2) (да, так как наибольшее из двух натуральных чисел также натуральное число)

3) (нет, так как не натуральное число)

III. Линейное отображение на числовой прямой функция . Например, линейное отображение, а , , - нелинейные отображения.

IV. Линейное отображение (линейный оператор) в с матрицей преобразует любой вектор в вектор по формуле . Например,

если , , то = .

V. Линейная комбинация векторов.

Пример1. Линейная комбинация векторов-многочленов и равна = .

Пример2. Линейная комбинация векторов и равна .

VI. Корни алгебраических уравнений.

Пример1. Корнями уравнения над полем комплексных чисел являются комплексные корни уравнения и , т.к. при

Пример 2. Число действительных корней многочлена с учетом их кратности равно 3, т.к. . Действительные корни: - двукратный, - однократный. Комплексные корни