Координатний простір – Oxyz.

Якщо взяти три взаємно перпендикулярні координатні прямі – (вісь абсцис), (вісь ординат) та (вісь аплікат), які перетинаються в одній точці (початок координат), то вони утворять взаємно перпендикулярні координатні площини – , , .

Осі розбивають координатний простір на 8 частин, які називають октантами.

Точка розбиває осі на півосі: додатну і від'ємну.

Візьмемо довільну точку і проведемо через неї площину, паралельну координатній площині . Вона перетне вісь в деякій точці (рис 1).

Проведемо через точку ще дві площини, паралельні відповідно координатним площинам та . Вони перетнуть відповідні осі координат – у точці та – у точці (рис 2).

Координати точки у просторі позначають так: , а іноді використовують просто координати, без буквених позначень.

2 Відстань між точками. Координати середини відрізка.

Яка довжина відрізка, зображеного на координатній прямій?

Перевіримо:

Знайдіть відстань між точками і .

Перевірте себе:

Отже, відстань між точками у просторі дорівнюватиме:

Координати середини відрізка знаходяться як середнє арифметичне координат його кінців. Якщо задано точки , то координати точки дорівнюватимуть:

Координати точки, що поділяє відрізок у заданому відношенні теж можна знайти. Якщо відоме відношення відрізків, на які поділено відрізок точкою , наприклад, , то координати будуть:

3 Перетворення фігур у просторі.

Симетрія відносно площини – перетворення фігури в , при якому кожна точка фігури переходить в точку – симетричну до відносно площини .

Нехай – довільна фіксована площина. З точки опускають перпендикуляр на площину (точка – основа перпендикуляра) і на його продовженні (за точку ) відкладають відрізок . Точки та називають симетричними відносно площини . (рис 1)

На рис 2 зображено дві сфери, симетричні відносно площини .

Якщо перетворення симетрії відносно площини переводить фігуру саму в себе, то фігура є симетричною відносно площини , а площина називається площиною симетрії.

На рис 3 зображено площини симетрії сфери. У сфери таких площин симетрій нескінченна множина.

У куба також є площини симетрії (рис 4), проте їх всього вісім.

Паралельним перенесенням у просторі називається таке перетворення, при якому довільна точка фігури переходить у точку , де – сталі. Паралельне перенесення у просторі задається формулами:

.

Властивості паралельного перенесення:

Паралельне перенесення є рухом.

При паралельному перенесенні точки зміщуються по паралельних (або співпадаючих) прямих на одну і ту саму відстань.

При паралельному перенесенні пряма переходить в паралельну пряму (або сама в себе).

Які б не були дві точки, існує, і до того ж єдине, паралельне перенесення, при якому одна точка переходить в іншу.

При паралельному перенесенні у просторі кожна площина переходить або в себе, або у паралельну їй площину.

Гомотетія.

Нехай – дана фігура і – задана точка. Проведемо через довільну точку фігури промінь і на ньому відкладемо відрізок , де – додатне число.

Перетворення фігури , при якому кожна її точка переходить у відповідну їй за побудовою точку , називається гомотетією відносно центра . Число називається коефіцієнтом гомотетії, а фігури і називаються гомотетичними.

Перетворення фігури в фігуру називається перетворенням подібності, якщо при цьому перетворенні відстані між точками змінюється (збільшуються або зменшуються) в одне й те саме число разів.

Якщо довільні точки і фігури при цьому перетворенні переходять в точки і фігури , то , де .

Число називається коефіцієнтом подібності ().

При перетворення подібності є рухом.

4 Кути у просторі.

Кутом між площинами і , які перетинаються по прямій , називається кут між прямими, по яких третя площина , яка перпендикулярна до лінії перетину, перетинає площини і .

Для побудови кута між площинами достатньо вибрати точку на ребрі утвореного двогранного кута (лінія перетину двох площин) і провести перпендикуляри в кожній із заданих площин. Кут між побудованими перпендикулярами і буде кутом між заданими площинами.

Кутом між прямою і площиною, яка її перетинає, називається кут між цією прямою та її проекцією на цю площину.

Отже, для побудови такого кута необхідно побудувати перпендикуляр з будь-якої точки заданої прямої на задану площину і проекцію прямої на площину. Кут між побудованою проекцією і заданою прямою буде шуканим кутом між прямою і площиною.

Кут між паралельними прямими і площинами вважається рівним .

Кут між перпендикулярними прямою і площиною становить .

Кутом між мимобіжними прямими називається кут між прямими, які перетинаються і паралельні даним мимобіжним прямим.

Якщо кут між мимобіжними прямими дорівнює , то їх називають перпендикулярними.