Тема 1. Интегралы Эйлера

Задание 1, а. Используя определения и свойства гамма- и бета- функции, вычислить следующие интегралы:

1.1. ; 1.2. ; 1.3. ; 1.4. .

Решение. 1.1.

.

1.2.

.

1.3.

.

1.4.

.

Задание 1, б. Используя определения и свойства гамма- и бета- функции, вычислить двойные интегралы:

1.5. ;

1.6. , где .

Решение. Перейдём в интегралах 1.5, 1.6 в полярную систему координат , , , и применим формулу

.

1.5. .

1.6. Изобразим область (рис. 1.1).

Из рис. 1.1 видно, что , .

Задание 1, в. Используя определения и свойства гамма- и бета- функции, найти суммы рядов:

1.7. ; 1.8. .

Решение. 1.7.

.

1.8.

.

Задание 2. Дана функция . Выразить через элементарные функции.

2.1. ; 2.2. .

Решение. 2.1. .

2.2.

, .

Задание 3. Дана функция . Средствами Maple определить 4 первых локальных экстремума функции при .

Решение. Функция имеет 4 первых локальных экстремума при в интервалах , , , , поэтому и экстремумы функции нужно искать на этих же интервалах.

> restart;

> n: =16:

> y: =1/GAMMA(x)^n;

> y1: =diff(y, x);

Стационарные точки:

> s: =seq(fsolve(y1=0, x=-i..-i+1), i=1..4);

Экстремумы:

> e: =seq(evalf(subs(x=s[i], y)), i=1..4);

Задание 4. Построить график функции в зависимости от аргумента при , где — номер варианта .

> restart;

> n: =16;

> plot(Beta(x, n/2), x=0..3, 0..5, color=NAVY, thickness=2);

Задание 5. Реализовать формулу Эйлера

,

при и ( — номер варианта, ) и сравнить последовательные результаты с точным значением гамма-функции.

> restart;

> n: =16;

> Gamma_N: =(z, N)-> subs(m=N, m! *m^z/product(z+k, k=0..m));

> seq(print(cat(`N=`, 10^l, ` Gamma=`,

convert(evalf(Gamma_N(n/2, 10^l)), string))), l=1..5);

> print(cat(`Точное значение гамма-функции: `,

convert(evalf(GAMMA(n/2)), string)));