Задача 4. Задаём исследуемую функцию и строим её график в форме, позволяющей составить примерное представление о наличии экстремумов

Задаём исследуемую функцию и строим её график в форме, позволяющей составить примерное представление о наличии экстремумов, точек перегиба и асимптот функции:

Функцию будем рассматривать на участке от 0 до 6.

Задаём область значений функции:

Для определения экстремумов функции находим её первую производную р=р(х) и точки, в которых она обращается в ноль:

График производной функции имеет вид:

Из графика видно, что производная равна нулю в 1 точке (на участке от 0 до1, график проходит параллельно оси ох не пересекая её).

Для определения нулей производной решаем её относительно х с помощью функции solve:

Таким образом производная равна нулю в точке

х1- абсцисса точки минимума.

Соответственно ордината точки минимума равна:

Для определения точек перегиба функции находим её вторую производную d=d(x) и точки, в которых она обращается в ноль:

Определяем нули второй производной:

Ордината точки перегиба равна:

График второй производной имеет вид:

Отсутствие конечных пределов функции указывает на отсутствие у неё наклонных и горизонтальных асимптот, имеется только вертикальная асимптота х=6.

График исследуемой функции с указанием на нём экстремумов, точек перегиба и асимптот имеет вид:

Ответ:

1) Экстремум- минимум (2, 69; -1, 668*10³).

2) Точка перегиба - (0, 25; 4, 1).

3) Асимптота – вертикальная х=6