Ренты с постоянным относительным приростом платежей

Конверсия постоянных аннуитетов

В практике встречаются случаи, когда на этапе разработки условий контракта или даже в ходе его выполнения необходимо в силу каких либо причин изменить условия выплаты аннуитета. Этот процесс называется конвертированием условий аннуитета.

Простейшими случаями конвертирования являются:

· замена ренты разовым платежом, или выкуп ренты,

· замена разового платежа рентой, т.е. рассрочка платежа,

· объединение рент в одну – консолидация рент,

· замена ренты годовой на ежеквартальную, и т.д.

Ясно, что все перечисленные изменения не могут быть произвольными. Если предполагать, что конверсия не должна приводить к изменению финансовых последствий для каждой из участвующих сторон, то ее необходимо основывать на принципе финансовой эквивалентности.

Прежде чем обсуждать подробно различные виды конверсии, приведем простые примеры аннуитетов с переменными платежами.

Ренты с постоянным относительным приростом платежей

Рассмотрим годовой аннуитет постнумерандо с платежами, изменяющимися по закону , где номер платежа с первого до -го (первый платеж в конце первого года равен , второй платеж в конце второго года равен и т.д.), а - некоторая константа. Тогда в конце года наращенная сумма будет равна

(1)

При результат совпадает, очевидно, с уже известным:

. (2)

Сравним выражение (1) при с суммой (2). Функция (1) является непрерывной при , поскольку значение определяется по непрерывности (используя правило Лопиталя для раскрытия неопределенности). Предполагая, что является гладкой функцией от , рассмотрим производную

(3)

В функции сделаем замену

.

Поскольку

,

то, очевидно, что функция имеет минимум равный нулю при . Следовательно, производная (3) больше нуля при всех . Раскрытие неопределенности в (3) при (используя правило Лопиталя) определяет значение производной (3) в точке . Оно равно . Отсюда следует, что является монотонной функцией от параметра . Поэтому

(4)

Результат конечно вполне понятен и мог бы быть предугадан из простых экономических рассуждений.