![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Примеры. 1) Пространство Rn . Элементами этого пространства являются n-ки чисел ( а1, а2 , , аn ), сложение и умножение на число производится покомпонентно
1) Пространство Rn. Элементами этого пространства являются n-ки чисел (а1, а2, …, аn ), сложение и умножение на число производится покомпонентно, аналогично операциям с векторами на плоскости (R2 ) и в пространстве (R3 ). 2) Множество всех функций f(x), определённых на отрезке [A, B]. Операции сложения векторов и умножения вектора на число – это просто сложение функций и умножение функции на число. Определение 2. Линейной комбинацией векторов Мы говорим, что вектор Определение 3 Векторы Это определение эквивалентно следующему:
Пример. Пусть рассматривается пространство функций на отрезке [-1, 1]. Тогда можно проверить, что а) функции х и х2 – линейно независимы. б) функции 3х + 1, 2х – 1 и 7х + 2 – линейно зависимы (7х + 2 = 2.2∙ (3х + 1) + 0.2∙ (2х – 1)). Пусть S = { Определение 4 Рангом r системы векторов S наз. максимальное число линейно независимых векторов Из определения следует, что все оставшиеся векторы выражаются через отобранные. Понятно также, что отбор неоднозначен. Определение 5. Рангом матрицы размера (m x n) наз. ранг системы строк, рассматриваемых как векторы в пространстве Rn. Согласно определению, следовало бы говорить о строчном ранге матрицы и аналогично определить столбцовый ранг. Но оказалось, что они равны, поэтому говорят просто «ранг матрицы». Таким образом, имеет место Теорема (о ранге матрицы). Без док-ва. Для всякой матрицы столбцовый и строчный ранги совпадают. Доказано также следующее Предложение. Ранг матрицы равен порядку наибольших отличных от нуля миноров этой матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений АХ = В совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы А равен рангу расширенной матрицы системы. Подробного доказательства приводить не будем. Док-во основано на том, что если имеется решение Х0, то равенство АХ0 = В означает, что столбец свободных членов В будет линейной комбинацией столбцов матрицы А. Определение 6. Ранг системы всех векторов пространстваV называется его размерностью. Максимальная линейно независимая система векторов пространства V наз. его базисом. Из определения следует, что если множество E = {
Тогда из последнего равенства следует, что все коэффициенты (α i – β i) = 0, т.е. α i = β i, так как базисные векторы линейно неза-висимы. Определение 7. Если E = {
Одно и то же пространство может иметь различные базисы. Только число элементов базиса (размерность пространства) неизменно. Пример. Рассмотрим пространство R2. В качестве базисных векторов можно взять векторы
|