Решение задачи

Постановка задачи

По семи территориям Уральского района за 1999г. известны значения двух признаков (таблица 1).

Таблица 1. Исходные данные задачи

Требуется:

Для характеристики зависимости y от x рассчитать параметры следующих функций:

a) линейной;

b) степенной;

c) показательной;

d) равносторонней гиперболы.

Оценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации и коэффициент детерминации.

Решение задачи

a) Для расчета параметров линейной регрессии y = a + bx решаем систему нормальных уравнений относительно a и b:

По исходным данным рассчитываем Sy, Sx, Syx, Sx², Sy².

Таблица 2. Расчетные данные для линейной модели

	y	x	yx	x2	y2			Ai
	68, 8	45, 1	3102, 88	2034, 01	4733, 44	61, 3	7, 5	10, 9
	61, 2		3610, 80	3481, 00	3745, 44	56, 5	4, 7	7, 7
	59, 9	57, 2	3426, 28	3271, 84	3588, 01	57, 1	2, 8	4, 7
	56, 7	61, 8	3504, 06	3819, 24	3214, 89	55, 5	1, 2	2, 1
		58, 8	3234, 00	3457, 44	3025, 00	56, 5	-1, 5	2, 7
	54, 3	47, 2	2562, 96	2227, 84	2948, 49	60, 5	-6, 2	11, 4
	49, 3	55, 2	2721, 36	3047, 04	2430, 49	57, 8	-8, 5	17, 2
Итого	405, 2	384, 3	22162, 34	21338, 41	23685, 76	405, 2	0, 0	56, 7
Среднее значение	57, 89	54, 90	3166, 05	3048, 34	3383, 68			8, 1
s	5, 74	5, 86
s2	32, 92	34, 34

,

.

Уравнение регрессии: . С увеличением среднедневной заработной платы на 1 руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 0, 35 %.

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

.

Связь умеренная, обратная.

Определим коэффициент детерминации:

.

Вариация результата на 12, 7% объясняется вариацией фактора x.

Подставляя в уравнение регрессии фактические значения x, определим теоретические (расчетные) значения . Найдем величину средней ошибки аппроксимации :

.

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 8, 1%.

b) Построению степенной модели предшествует процедура линеаризации переменных. Линеаризация проводится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

lg y = lg a +b lg x;

Y = C +b X,

где Y = lg y, X = lg x, C = lg a.

Для расчетов используем данные таблицы 3.

Таблица 3. Расчетные данные для степенной модели

	Y	X	YX	X2	Y2				Ai
	1, 8376	1, 6542	3, 0398	2, 7364	3, 3768	61, 0	7, 8	60, 8	11, 3
	1, 7868	1, 7709	3, 1642	3, 1361	3, 1927	56, 3	4, 9	24, 0	8, 0
	1, 7774	1, 7574	3, 1236	3, 0885	3, 1592	56, 8	3, 1	9, 6	5, 2
	1, 7536	1, 7910	3, 1407	3, 2077	3, 0751	55, 5	1, 2	1, 4	2, 1
	1, 7404	1, 7694	3, 0795	3, 1308	3, 0290	56, 3	-1, 3	1, 7	2, 4
	1, 7348	1, 6739	2, 9039	2, 8019	3, 0095	60, 2	-5, 9	34, 8	10, 9
	1, 6928	1, 7419	2, 9487	3, 0342	2, 8656	57, 4	-8, 1	65, 6	16, 4
Итого	12, 3234	12, 1587	21, 4003	21, 1355	21, 7078	403, 5	1, 7	197, 9	56, 3
Сред. зн.	1, 7605	1, 7370	3, 0572	3, 0194	3, 1011			28, 27	8, 0
s	0, 0425	0, 0484
s2	0, 0018	0, 0023

Рассчитаем С и b:

;

.

Получим линейное уравнение: .

Выполнив его потенцирование, получим:

.

Подставляя в данное уравнение фактические значения x, получаем теоретические значения результата . По ним рассчитаем показатели: тесноты связи – индекс корреляции и среднюю ошибку аппроксимации :

.

Характеристики степенной модели указывают, что она несколько лучше линейной функции описывает взаимосвязь.

c) Построению уравнения показательной кривой предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения:

lg y = lg a +x lg b;

Y = C +B x,

где Y = lg y, B = lg b, C = lg a. Для расчетов используем данные таблицы 4.

Таблица 4. Расчетные данные для показательной модели

	Y	x	Yx	x2	Y2				Ai
	1, 8376	45, 1	82, 8758	2034, 01	3, 3768	60, 7	8, 1	65, 61	11, 8
	1, 7868		105, 4212	3481, 00	3, 1927	56, 4	4, 8	23, 04	7, 8
	1, 7774	57, 2	101, 6673	3271, 84	3, 1592	56, 9	3, 0	9, 00	5, 0
	1, 7536	61, 8	108, 3725	3819, 24	3, 0751	55, 5	1, 2	1, 44	2, 1
	1, 7404	58, 8	102, 3355	3457, 44	3, 0290	56, 4	-1, 4	1, 96	2, 5
	1, 7348	47, 2	81, 8826	2227, 84	3, 0095	60, 0	-5, 7	32, 49	10, 5
	1, 6928	55, 2	93, 4426	3047, 04	2, 8656	57, 5	-8, 2	67, 24	16, 6
Итого	12, 3234	384, 3	675, 9974	21338, 41	21, 7078	403, 4	1, 8	200, 78	56, 3
Сред. значение	1, 7605	54, 9	96, 5711	3048, 34	3, 1011			28, 68	8, 0
s	0, 0425	5, 86
s2	0, 0018	34, 3396

Значения параметров регрессии A и B составили:

,

.

Получено линейное уравнение: .

Произведем потенцирование полученного уравнения и запишем его в обычной форме: .

Тесноту связи оценим через индекс корреляции :

Связь умеренная.

, что говорит о повышенной ошибке аппроксимации, но в допустимых пределах. Показательная функция чуть хуже, чем степенная, описывает изучаемую зависимость.

d) Уравнение равносторонней гиперболы линеаризуется при замене: . Тогда y = a + b z.

Для расчетов используем данные таблицы 5.

Таблица 5. Расчетные данные для гиперболической модели

	y	z	yz	z2	y2				Ai
	68, 8	0, 0222	1, 5255	0, 000492	4733, 44	61, 8	7, 0	49, 00	10, 2
	61, 2	0, 0169	1, 0373	0, 000287	3745, 44	56, 3	4, 9	24, 01	8, 0
	59, 9	0, 0175	1, 0472	0, 000306	3588, 01	56, 9	3, 0	9, 00	5, 0
	56, 7	0, 0162	0, 9175	0, 000262	3214, 89	55, 5	1, 2	1, 44	2, 1
		0, 0170	0, 9354	0, 000289	3025, 00	56, 4	-1, 4	1, 96	2, 5
	54, 3	0, 0212	1, 1504	0, 000449	2948, 49	60, 8	-6, 5	42, 25	12, 0
	49, 3	0, 0181	0, 8931	0, 000328	2430, 49	57, 5	-8, 2	67, 24	16, 6
Итого	405, 2	0, 1291	7, 5064	0, 002413	23685, 76	405, 2	0, 0	194, 9	56, 5
Среднее значение	57, 9	0, 0184	1, 0723	0, 000345	3383, 68			27, 84	8, 1
s	5, 74	0, 002145
s2	32, 9476	0, 000005

Значения параметров регрессии a и b составили:

,

.

Получено уравнение: .

Тесноту связи оценим через индекс корреляции :

.

. По уравнению равносторонней гиперболы получена наибольшая оценка тесноты связи по сравнению с линейной, степенной и показательной регрессиями. остается на допустимом уровне.