Реферат

Дисциплина: Введение в теорию случайных процессов

Тема: Генерация случайных функций

Выполнила студентка гр.33503/3 Баштовенко В.А.

Руководитель, д.т.н., профессор Смирнов Ю. М.

Санкт-Петербург

Содержание

Основные понятия теории случайных функций

На практике часто приходится иметь дело со случайными величинами, непрерывно изменяющимися в процессе опыта. Примерами таких случайных величин могут служить: ошибка радиодальномера при непрерывном измерении меняющейся дальности; угол упреждения при непрерывном прицеливании по движущейся цели; отклонение траектории управляемого снаряда от теоретической в процессе управления или самонаведения.

Такие случайные величины, изменяющиеся в процессе опыта, называются случайными функциями.

Изучением подобных случайных явлений, в которых случайность проявляется в форме процесса, занимается специальная отрасль теории вероятностей - теория случайных функций (иначе - теория случайных процессов). Эту науку можно образно назвать «динамикой случайных явлений».

Случайной функцией называется функция, которая в результате опыта может принять тот или иной конкретный вид, неизвестно заранее - какой именно.

Конкретный вид, принимаемый случайной функцией в результате опыта, называется реализацией случайной функции. Если над случайной функцией произвести группу опытов, то мы получим группу или «семейство» реализаций этой функции.

Приведем пример случайной функций.

Самолет-бомбардировщик на боевом курсе имеет теоретически постоянную воздушную скорость . Фактически его скорость колеблется около этого среднего номинального значения и представляет собой случайную функцию времени. Полет на боевом курсе можно рассматривать как опыт, в котором случайная функция принимает определенную реализацию (рис. 1).

Рис. 1 – реализация случайной функции

От опыта к опыту вид реализации меняется. Если на самолете установлен самопишущий прибор, то он в каждом полете запишет новую, отличную от других реализацию случайной функции. В результате нескольких полетов можно получить семейство реализаций случайной функции (рис. 2).

Рис. 2. – семейство реализаций случайной функции

Число примеров случайных функций, встречающихся в технике, можно было бы неограниченно увеличивать. Действительно, в любом случае, когда мы имеем дело с непрерывно работающей системой (системой измерения, управления, наведения, регулирования), при анализе точности работы этой системы нам приходится учитывать наличие случайных воздействий (помех). Как сами помехи, так и вызванная ими реакция системы представляют собой случайные функции времени.

В ряде задач практики встречаются случайные функции, зависящие не от времени, а от других аргументов. Например, характеристики прочности неоднородного стержня могут рассматриваться как случайные функции абсциссы сечения . Температура воздуха в различных слоях атмосферы может рассматриваться как случайная функция высоты .

На практике встречаются также случайные функции, зависящие не от одного аргумента, а от нескольких. Например, аэрологические данные, характеризующие состояние атмосферы (температура, давление, ветер), представляют собой в общем случае случайные функции четырех аргументов: трех координат и времени .

Рассмотрим некоторую случайную функцию . Предположим, что над ней произведено независимых опытов, в результате которых получено реализаций (рис. 3).

Рис. 3 – n реализаций случайной функции

Обозначим их соответственно номеру опыта .

Каждая реализация, очевидно, есть обычная (неслучайная) функция. Таким образом, в результате каждого опыта случайная функция превращается в обычную, неслучайную функцию.

Зафиксируем теперь некоторое значение аргумента и посмотрим, во что превратится при этом случайная функция . Очевидно, она превратится в случайную величину в обычном смысле слова. Условимся называть эту случайную величину сечением случайной функции, соответствующим данному . Если провести «сечение» семейства реализаций при данном (рис. 15.1.5), мы получим значений, принятых случайной величиной в опытах.

Мы видим, что случайная функция совмещает в себе черты случайной величины и функции. Если зафиксировать значение аргумента, она превращается в обычную случайную величину; в результате каждого опыта она превращается в обычную (неслучайную) функцию.

Понятие о случайной функции как расширение понятия о системе случайных величин

Рассмотрим некоторую случайную функцию на определенном отрезке времени (рис. 4).

Рис. 4 – случайная функция на заданном отрезке времени

Предположим, что ход изменения случайной функции регистрируется с помощью некоторого прибора, который не записывает случайную функцию непрерывно, а отмечает ее значения через определенные интервалы - в моменты времени .

Как было указано выше, при фиксированном значении случайная функция превращается в обычную случайную величину. Следовательно, результаты записи в данном случае представляют собой систему случайных величин:

.

Очевидно, при достаточно высоком темпе работы регистрирующей аппаратуры запись случайной функции через такие интервалы даст достаточно точное представление о ходе ее изменения. Таким образом, рассмотрение случайной функции можно с некоторым приближением заменить рассмотрением системы случайных величин. По мере увеличения такая замена становится все более и более точной. В пределе число значений аргумента - и соответственно число случайных величин – становится бесконечным. Таким образом, понятие случайной функции можно рассматривать как естественное обобщение понятия системы случайных величин на случай бесконечного (несчетного) множества величин, входящих в систему.

Закон распределения случайной функции предоставляет собой функцию бесчисленного множества аргументов. Можно, однако, для случайной функции построить некоторые вероятностные характеристики, аналогичные законам распределения. Идея построения этих характеристик заключается в следующем.

Характеристики случайных функций

Для случайных функций также вводятся простейшие основные характеристики, аналогичные числовым характеристикам случайных величин, и устанавливаются правила действий с этими характеристиками. Такой аппарат оказывается достаточным для решения многих практических задач.

В отличие от числовых характеристик случайных величин, предоставляющих собой определенные числа, характеристики случайных функций представляют собой в общем случае не числа, а функции.

Математическое ожидание случайной функции определяется следующим образом. Рассмотрим сечение случайной функции при фиксированном . В этом сечении мы имеем обычную случайную величину; определим ее математическое ожидание. Очевидно, в общем случае оно зависит от , т. е. представляет собой некоторую функцию :

.

Таким образом, математическим ожиданием случайной функции называется неслучайная функция , которая при каждом значении аргумента равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайной функции.

По смыслу математическое ожидание случайной функции есть некоторая средняя функция, около которой различным образом варьируются конкретные реализации случайной функции.

На рис. 5 тонкими линиями показаны реализации случайной функции, жирной линией - ее математическое ожидание.

Рис. 5 – математическое ожидание случайной функции

Аналогичным образом определяется дисперсия случайной функции.

Дисперсией случайной функции называется неслучайная функция , значение которой для каждого равно дисперсии соответствующего сечения случайной функции:

.

Дисперсия случайной функции при каждом характеризует разброс возможных реализаций случайной функции относительно среднего, иными словами, «степень случайности» случайной функции.

Очевидно, есть неотрицательная функция. Извлекая из нее квадратный корень, получим функцию - среднее квадратичное отклонение случайной функции:

Корреляционная функция характеризует степень зависимости между сечениями случайной функции, относящимися к различным .

Корреляционной функцией случайной функции называется неслучайная функция двух аргументов , которая при каждой паре значений , равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайной функции:

,

где ,

Методы Генерации случайных функций (процессов)

Имитация последовательности значений случайного процесса в дискретные моменты времени основана на аппроксимации реального процесса в классе доступных для воспроизведения процессов или на каноническом разложении , где – независимые случайные величины с N(0, 1), – неслучайные координатные функции.

Значение случайной величины с N(ν, σ 2) может быть определено по формуле ν + σ ξ, где ξ имеет N(0, 1). Поэтому одновременно нормальный Марковский процесс с нулевым матожиданием и с корреляционной функцией R(τ)= σ 2*exp{-α | τ |} имеет значения , определенные по рекуррентным формулам:

;

;

На практике широко поставленные задачи моделирования случайных процессов встречаются редко, чаще требуется моделировать случайные процессы, относящиеся к определенному, более узкому классу случайных процессов. Например, стационарный нормальный случайный процесс; стационарные процессы, не являющиеся нормальными, но
порождаемые нормальными в нелинейных системах и т.п.

Моделирование нормальных случайных процессов

Для стационарных нормальных случайных процессов найдены весьма экономичные моделирующие алгоритмы. В их основу положено линейное преобразование стационарной последовательности x[n] независимых нормальных случайных чисел (дискретный белый шум) в
последовательность y[n], коррелированную по заданному закону.
При этом оператор линейного преобразования записывается либо в виде скользящего суммирования с некоторым весом ck = c[k]:

либо как рекуррентное уравнение вида:

Вид корреляционной функции случайного процесса, моделируемого с помощью этих алгоритмов, определяется набором значений ak, bk, ck и их количеством, которое обычно невелико.

Алгоритмы отличаются простотой и позволяют формировать дискретные реализации случайных процессов сколь угодно большой длины. Параметры a_k, b_k, c_k определяются на этапе предварительной подготовки к моделированию. Задачу цифрового моделирования с помощью скользящего суммирования и рекуррентных разностных уравнений можно рассматривать как задачу синтеза линейного
дискретного формирующего фильтра, который преобразует белый шум на его входе в коррелированный дискретный случайный процесс с заданными корреляционно-спектральными характеристиками на его выходе (рис. 6).

Рисунок 6 – Формирующий фильтр

Передаточные функции фильтров имеют вид:

где z -дискретный оператор преобразования Лапласа.

Метод скользящего суммирования

Пусть задана последовательность x[n] независимых случайных чисел с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией (нормированный дискретный белый шум). Корреляционная функция последовательности x[n]:

Сформируем из последовательности x[n] согласно алгоритму новую:

Случайная величина y[n] получается путем суммирования с весами c1…cn N независимых случайных чисел, представляющих собой отрезок последовательности x[n] (рис.7).

Рисунок 7 – Формирование случайной величины y[n]

При этом, для вычисления определенного y[n + 1] исходная последовательность сдвигается на 1 элемент вправо, так что значения x[n − N] выбрасываются.

Рисунок 8 – Формирование случайной величины y[n+1]

Зависимость (коррелированность) между случайными величинами y[n] и y[n + 1] обеспечивается за счет того, что в их образовании участвует [N-1] общее случайное значение последовательности x[n]. При k = N значения y[n] и y[n − k] становятся некоррелированными. Характер корреляционных связей процесса y[n] определяется только набором ck и не зависит от закона распределения исходных случайных чисел x[n].

Если исходные случайные числа распределены нормально, то в силу линейности преобразования последовательность y [n] будет нормальным случайным процессом. Корреляционная функция при этом будет определяться соотношением:

Вычисление корреляционной функции по этим формулам можно свести к перемножению матриц:

Если коэффициенты c_k заданы, то корреляционную функцию случайного процесса, формируемого методом скользящего суммирования, можно легко найти. Гораздо сложнее решить обратную задачу - определить коэффициенты c_k по заданной корреляционной
функции.
Возможные пути её решения:

1) Получение весовых коэффициентов путём решения нелинейной алгебраической системы уравнений.

2) Получение весовых коэффициентов путём разложения функции спектральной плотности в ряд Фурье.

в качестве c_k можно принять дискретные отсчеты импульсной характеристики:

3) Получение весовых коэффициентов методом факторизации (если нормальный дискретный шум то G ₀ = 1).

4) Если известно, что процесс является результатом воздействия белого шума на линейную систему с заданной передаточной функцией K (p)и импульсной (или переходной) характеристикой h (t), то при моделировании удобно использовать данную систему как формирующий фильтр. При этом c_k совпадают с h_k = h [ k ∆ t ].

Если модулируемый процесс задан своей корреляционной функцией, а энергетический спектр процесса неизвестен, причём вычисление его через преобразование Фурье
затруднительно, то целесообразно использовать первый метод.

Если процесс задан спектром или спектр легко находится через КФ, то используется второй метод.

Третий метод целесообразно использовать тогда, когда процесс является процессом с рациональным спектром, однако в этом случае, как правило, более эффективны рекуррентные уравнения.

Четвёртый метод наиболее простой. Он используется тогда, когда известна импульсная или переходная характеристика.

Метод рекуррентных разностных уравнений
Рекуррентные алгоритмы пригодны только для моделирования процессов с дробно-рациональным спектром:

,

где G1 и G2 - полиномы степени l и m > l соответственно.

Применение рекуррентных алгоритмов наиболее эффективно тогда, когда корреляционная функция моделируемых процессов имеет невысокий порядок, определяемый числом полюсов спектральной функции, так как в этих случаях моделирующие алгоритмы
очень просты, не имеют методических погрешностей, и их параметры удаётся выразить в явном виде через параметры корреляционной функции.

Отсутствие методической погрешности понимается в том смысле, что дискретные реализации y[n], полученные на ЭВМ, и последовательности y(n∆ t) выборочных значений процесса y(t) в точности совпадают при любом ∆ t, если считать исходные случайные числа x[n] строго независимыми и нормальными.

Параметры рекуррентных алгоритмов получают методами:

· факторизации;

· дискретизации непрерывного формирующего фильтра.

Программный инструментарий по генерации случайных функций

Wolfram Mathematica

Система Mathematica имеет 5000 встроенных функций, покрывающих все области технических вычислений.

Параметрические случайные функции в Wolfram Mathematica представлены стандартными модели для различных сфер применения. Язык Wolfram предоставляет полную поддержку для работы с параметрическими случайными процессами: моделирование процесса, загрузка параметров и вычисление характеристик. Параметрические случайные процессы обладают рядом стандартных настроек.

Примеры стандартных функций для генерации случайных процессов:

o RandomFunction[proc, {tmin, tmax}]
генерирует псевдослучайную функцию из процесса в заданном промежутке времени

o RandomFunction[proc, {tmin, tmax, dt}]
генерирует псевдослучайную функцию из процесса в заданном промежутке времени с заданным шагом

o RandomFunction[proc, …, n]
генерирует массив псевдослучайных функций

Примеры стандартных функций для построения случайных реализаций произвольного процесса:

Команда RandomFunction используется для построения случайных реализаций любого процесса:

· Случайный процесс с дискретным состоянием в дискретном времени.

· Случайный процесс с непрерывным состоянием в дискретном времени.

· Случайный процесс с дискретным состоянием в непрерывном времени.

· Случайный процесс с непрерывным состоянием в непрерывном времени.

Генерирование ансамбля случайных траекторий процесса:

RandomFunction также используется для генерирования произвольного числа траекторий для заданного временного интервала.

Аппаратный инструментарий по генерации случайных функций

В настоящее время существуют несколько запатентованных аппаратных генераторов случайных функций, таких как «Генератор случайных функций с заданным законом распределения вероятностей и заданной функцией корреляции» – автор В, Г. Косторниченко, «Генератор многомерных случайных функций» – автор А, С. Илагин, «Генератор случайного процесса» – автор Гладунов В.Д. В качестве примера рассмотрим последний.

Изобретение относится к вычислительной технике и может быть использовано для формирования случайных процессов с заданными значениями кумулянтов первого, второго и третьего порядков и регулируемым значением кумулянта четвертого порядка при произвольно задаваемом виде автокорреляционной функции генерируемого процесса в устройствах имитации и обработки сигналов в радиотрактах, при идентификации линейных и нелинейных систем.

В генераторе используется одношаговый метод генерации нормального случайного процесса с заданным значением интервала корреляции, при котором каждый следующий отсчет получается после сравнения двух случайных равномерно распределенных чисел с предыдущим значением процесса и с константой, определяющей значение интервала корреляции.

Недостаток генератора _ отсутствие возможности оперативно регулировать степень отклонения одномерного распределения формируемого процесса от гауссовского путем управления значением кумулянта четвертого порядка при постоянных значениях всех кумулянтов низшего порядка.

Это сужает функциональные возможности генератора, не позволяя расширить класс формируемых процессов, что необходимо, в частности, при испытаниях радиосистем на воздействие негауссовских сигналов, а также имитировать эволюцию типа процесса от гармонического до импульсного либо его нестационарность по кумулянту четвертого порядка.

Кроме того, генератор формирует процесс с ограниченным классом автокорреляционных функций: только экспоненциального типа, хотя и с оперативно изменяющимся значением интервала корреляции.

Для формирования случайного процесса используется управляемое внешним сигналом нелинейное преобразование стационарной последовательности независимых равномерно распределенных в интервале от -1 до +1 случайных чисел в последовательность независимых троичных чисел (+1, 0, -1) c нулевыми коэффициентом асимметрии, математическим ожиданием и изменяемым значением кумулянта четвертого порядка и фильтрация полученной троичной последовательности фильтром с конечной импульсной переходной характеристикой (КИХ-фильтром).

Фильтрация осуществляется путем управления в процессе суммирования всех весовых коэффициентов импульсной характеристики фильтра, знаком каждого весового коэффициента с помощью соответствующих членов скользящей выборки конечных размеров, формируемой из троичной последовательности.

Число дискретных уровней формируемой в генераторе промежуточной случайной последовательности равное трем является минимально необходимым для того, чтобы можно было получить случайную последовательность с регулируемым значением кумулянта четвертого порядка при сохранении симметрии распределения вероятностей и нулевого математического ожидания. Благодаря этому генератор имеет простую структуру. При фильтрации отпадает необходимость осуществлять хранение, сдвиг и умножение многоразрядных чисел, что также повышает быстродействие генератора.

Изменение вероятностей каждого из трех дискретных уровней формируемой троичной последовательности при регулировании значения кумулянта четвертого порядка осуществляется за счет согласованного изменения порогов срабатывания схем сравнения, выполняющих нелинейное преобразование исходной стационарной последовательности независимых равномерно распределенных случайных чисел от одного управляющего сигнала сигнала задания значения кумулянта четвертого порядка генератора.

Получаемая стационарная последовательность независимых одинаково распределенных случайных троичных чисел является негауссовским дискретным цифровым шумом. Фильтрация такой последовательности будет приводить к нормализации этой последовательности и уменьшению значения коэффициента эксцесса процесса на выходе цифрового фильтра.

Список использованной литературы

1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения – М.: Высшая школа, 2000.

2. Волков И.К. Случайные процессы / И.К. Волков, С.М. Зуев, Т.М. Цветкова. – М: М ГТ У, 2000

3. Прохоров С.А. Моделирование и анализ случайных процессов: Лабораторный практикум/ Самара: СНЦ РАН, 2002.

4. Прохоров С.А. Математическое описание и моделирование случайных процессов – Самара: ГАУ, 2001.

5. Методы статистического моделирования в радиотехнике: Учебное пособие – СПб, 2003.

6. Иванов А.В., Иванова А.П. Моделирование случайных величин, систем массового обслуживания и случайных процессов. Часть 2.: Методические указания к лабораторным работам. – М.: МИИТ, 2006

7. Wolfram Language & System Documentation Center – Wolfram Matematica: справочная документация

8. Гладунов В.Д. Генератор случайного процесса (RU 2050585): Описание патента