Возраст: от рождения до двадцати лет

По знаменитому выражению Барби, «уроки математики – это круто!», причем не только для девочек, но и для всех остальных. Мозг вашего ребенка оптимизирован для быстрого решения повседневных проблем. Это значит, что он менее приспособлен к решению алгебраического уравнения, чем к решению дилеммы, стоит ли ударить того ребенка, который только что обидел его (разумеется, этот расчет требует некоторых вычислительных способностей, так как важно определить, не больше ли у обидчика друзей поблизости, чем у него самого).

Маленькие дети и многие животные могут решать такие приблизительные количественные задачи. Это первоначальное чувство может сочетаться со способностью нашего вида создавать символы формальной математики и манипулировать ими, что наблюдается в одних обществах, а в других нет. На самом деле математика, столь негостеприимное место для «детей-одуванчиков», является удивительно плодородной почвой.

В последние несколько десятилетий возможности нашей оценки способности младенцев формировать количественные представления значительно улучшились. Младенцы выражают удивление более долгим взглядом (см. главу 1), если один предмет скрывается за ширмой, а потом оттуда появляются два предмета. Если младенец видит, как кукла Микки-Мауса скрывается за ширмой, а потом оттуда появляется грузовик, его это не интересует. Если же он видит, как кукла появляется вместе со второй куклой, то долгий взгляд свидетельствует об удивлении ребенка. Эта способность замечать дополнительный объект – «раздвоение» Микки-Мауса – является необходимым компонентом формирования количественных концепций.

Такая способность распространяется не только на малые количества. Когда шестимесячный младенец видит ряд картинок, каждая из которых содержит несколько объектов (точек, лиц и т.д.), он замечает, когда количество удваивается либо уменьшается наполовину. Это общее ощущение множественности тоже улучшается с возрастом. Если младенцы могут распознать соотношение 1: 2 – например, сравнивая 4 и 8 или 6 и 12 объектов – без каких-либо расчетов, то взрослые могут распознать более сложное соотношение 7: 8.

Определение численности или умение проводить различие между группами разного размера является способностью, которой обладают все люди. Другая универсальная способность, которая называется субитизацией, относится к умению мгновенно определять малое количество без расчетов. Этот термин происходит от латинского слова subitus, что означает «внезапный». Определение численности и субитизация присутствуют и у других животных, в том числе у мышей, собак и даже у голубей. Это важное преимущество для выживания, так как позволяет нам оценивать количество чего угодно: от источников пищи до возможных врагов. Например, группа в львином прайде по-разному реагирует на рев чужаков в зависимости от того, скольких львов они слышат и сколько членов насчитывает их собственная группа. Если чужаки превосходят их числом, они обращаются за поддержкой к остальной части прайда. Сходным образом шимпанзе избегают конфликтов с другими группами, если уступают им по численности.

Одна из причин, по которым понадобилось так много времени, чтобы выяснить наличие этого чувства у маленьких детей, заключается в том, что ранние исследователи (например, Пиаже) задавали неправильные вопросы. Если спросить «в каком ряду больше предметов?», дети в возрасте 3–4 лет укажут на меньшее количество глиняных шариков, если этот ряд был разложен так, чтобы казаться длиннее. Но замените глиняные шарики шоколадными конфетами, которые дети могут получить сразу же после ответа, и они покажут гораздо лучший результат. В ретроспективе становится понятно, что прежние исследователи тестировали два разных фактора: чувство числа и способность ясно выразить его. Ваша 3-летняя дочь знает, но не говорит. Если ее рот набит шоколадными конфетами, то степень ее познаний остается недоступна для задающего вопросы.

Как ни странно, более младшие 2-летние дети прекрасно справляются с задачей, будь то глиняные шарики или конфеты. Этот результат подразумевает, что в этом возрасте у детей есть чувство численности, но они утрачивают это абстрактное чувство примерно через один год. Что может происходить? Вероятно, в возрасте 3–4 лет детский мозг находится в процессе перехода от интуитивного понимания количества предметов к представлению об абстрактных числах, которое появляется позднее. К 5 годам, когда все приходит в норму, ребенок просто считает шарики и, возможно, хочет, чтобы их заменили конфетами.

Стремление взять конфету может показаться первобытным, но так и есть на самом деле. Опыт показывает, что шимпанзе тоже могут проводить с числами мысленную операцию, которая напоминает сложение. Если шимпанзе последовательно показывают два подноса с разным количеством шоколадок, он может определить, большим или меньшим будет их сумма по сравнению с количеством шоколадок на третьем подносе. Рудименты арифметических способностей эволюционно старше нашего вида и являются одной из граней «внутренней обезьяны» вашего малыша.

Чувство количества активирует сходные участки мозга у людей и обезьян. Числовая информация представлена в лобных и задних отделах теменных долей. Одним из ключевых мест является внутритеменная борозда, скрытый участок коры, где представлен семантический смысл числа (например, «семнадцать»). Когда этот участок мозга поврежден, люди могут давать лишь приблизительные, а не точные ответы – примерно на уровне шимпанзе.

Эта способность чувствовать количество привела ученых к предположению, что мозг представляет сравнительную численность, как бы опираясь на мысленный цифровой ряд. Мозг как будто создает образное упорядоченное представление, сродни делениям на линейке. Например, когда нас просят сказать, какое из двух чисел больше, нам требуется больше времени на ответ, если два числа находятся рядом (8 и 7), чем если они дальше отстоят друг от друга (8 и 2), как будто близкие числа действительно находятся ближе в нашем мысленном пространстве. Сравнение близких чисел приводит к большей активности во внутритеменной борозде.

Можно ли развить способность ребенка к оценке количества еще до того, как он научится считать?

У обезьян есть нейроны в правой и левой внутритеменнной борозде, которые активируются, когда животное сталкивается с конкретным количеством предметов. В целом эти области мозга являются частью более крупной системы, определяющей положение предметов, в том числе их количество и перемещение.

Способность теменной коры отвечать на вопрос «где?» (см. главу 10) охватывает множество функций. Задняя часть теменной коры становится активной у обезьян и людей в сочетании с движениями глаз. По отношению к математике неврологи отметили интересную дополнительную способность этого участка мозга. Они просили испытуемых, лежащих в сканере функциональной магнитно-резонансной томографии (фМРТ), выполнять простые арифметические расчеты. Одни и те же участки активизировались, когда люди выполняли мысленное сложение и вычитание, хотя их глаза не двигались. Соседние участки со множеством общих соединений тесно связаны со зрительными функциями, такими как быстрые движения глаз (саккады), направление внимания и определение движения зрительных образов. Поэтому наши зрительные способности могут быть связаны с мысленным цифровым рядом. Схему активности задней теменной коры даже можно использовать для предсказания (со средней степенью точности), занимается ли человек сложением или вычитанием.

Это на первый взгляд странное перекрытие между командами, управляющими движением глаз, и базовыми арифметическими способностями указывает на то, что некоторые аспекты обработки абстракций в мозге построены на нашей способности к взаимодействию с реальным миром. Многие когнитивные способности, помимо арифметики, можно «воплотить» сходным образом. Иными словами, мы способны мыслить абстрактно несмотря на то, что наш мозг развивался для более конкретных действий, таких как поиски добычи или тропы в лесу.

Переход от приблизительных расчетов к точным образам формальной математики требует символической репрезентации чисел. Эта способность приходит вместе со знанием языка, который является сложным средством эффективной передачи информации. Попугаев, дельфинов, макак и шимпанзе можно обучить пользоваться символами для отображения чисел. Например, две макаки по имени Абель и Бакир догадывались выбрать большую из двух цифр, чтобы получить большее количество сладостей. В большинстве случаев животные не могут с помощью символов выполнять операции сложения и вычитания. Одним исключением является шимпанзе по имени Шеба, которая после нескольких лет обучения научилась выполнять простое сложение.