Раздел 3. Двумерные потоковые динамические системы.

Раздел 1. Организационно-методическое сопровождение

«Теория динамических систем» является в соответствии с учебным планом подготовки специалистов по специальности 010710 – Физика нелинейных динамических систем дисциплиной специализации. В данном курсе излагаются основы теории динамических систем, теории бифуркации и т.д. Дисциплина «Теория динамических систем» является логическим продолжением курса «Теория колебаний». Современная теория динамических систем представлена в курсе как с позиций анализа динамических систем с непрерывным, так и дискретным временем. В курсе уделено большое внимание математическому моделированию на ЭВМ. Программа курса построена так, чтобы показать тесную связь теории динамических систем с современной нелинейной теорией колебаний и волн.

В ходе лабораторных (практических) занятий студенты решают различные задачи теории динамических систем на компьютерах, в то время как семинарские занятия посвящены аналитическому решению задач.

Требования к умениям студентов. Студент обязан знать основные бифуркации, происходящие в динамических системах, ориентироваться во взаимосвязи бифуркаций в потоковых системах и системах с дискретным временем, уметь применять полученные знания при решении задач (как аналитическом, так и численном), а также при анализе поведения нелинейных систем.

Раздел 2. Тематический план учебной дисциплины

Раздел 3. Содержание учебной дисциплины

Введение. Основные понятия и особенности теории бифуркаций.

Раздел 1. Динамическая система. Понятия «динамическая система», «фазовое пространство», «аттрактор», «бифуркация». Классификация динамических систем. Системы с непрерывным и дискретным временем. Консервативные и диссипативные системы. Критерии консервативности или диссипативности систем с непрерывным и дискретным временем. Классификация динамических систем по размерности фазового пространства. Виды аттракторов, которые могут существовать в фазовом пространстве различной размерности. Взаимосвязь потоковых систем и отображений. Сечение Пуанкаре. Автономные и неавтономные системы. Цилиндрическое фазовое пространство. Особенности неавтономных систем, находящихся под импульсным внешним воздействием. Обратимые и необратимые отображения. Редукция потоковых систем.

Раздел 2. Одномерные потоковые динамические системы. Связь теории катастроф и теории бифуркаций, их сходство и отличия. Бифуркации седло-узел, транскритическая, вилки. Понятие о нормальной (суперкритической) и обратной (субкритической) бифуркациях.

Раздел 3. Двумерные потоковые динамические системы.

3.1. Бифуркации, происходящие в одномерных потоках и их вид в двумерных потоковых системах. Бифуркации седло-узел, транскритическая, вилки в двумерных потоковых системах. Почему невозможна бифуркация «седло-фокус»? Феномен смягчения мод. Замедление времени вблизи точек бифуркаций, универсальность бифуркаций.

3.2. Бифуркации коразмерности один, реализующиеся в потоковых системах с размерностью два и выше. Нормальная (суперкритическая) бифуркация Андронова–Хопфа. Уравнение для радиуса предельного цикла в полярной системе координат, полученное методом медленно меняющихся амплитуд. Обратная (субкритическая) бифуркация Андронова–Хопфа. Универсальность бифуркации Андронова–Хопфа. Порог бифуркации Андронова–Хопфа в двумерных и трехмерных потоковых динамических системах. Бифуркация рождения предельного цикла из сгущения фазовых траекторий. Нелокальные бифуркации коразмерности один: появление и распад седлоузловой связки, бифуркация рождения предельного цикла из петли сепаратрисы («влипания» предельного цикла в сепаратрису), бифуркация рождения предельного цикла из общей сепаратрисы седла и узла.

3.3. Бифуркации коразмерности два. Критическая точка бифуркации Андронова–Хопфа, сборка циклов, общая точка бифуркаций Андронова–Хопфа и седло-узел. Двухпараметрическое исследование двумерных потоков. Переход от двумерных потоков к одномерным отображениям: выбор сечения Пуанкаре и способы нахождения точек в этом сечении при численном моделировании потоковых систем. Свойства одномерных отображений, полученных из двумерных потоковых систем.

Контрольная работа по разделам 1–3 учебной программы.

Раздел 4. Одномерные динамические системы с дискретным временем. Простейшие аттракторы одномерных отображений: неподвижные точки, циклы. Мультипликатор неподвижных точек и циклов. Устойчивость неподвижных точек и циклов. Неподвижная точка, обладающая максимальной устойчивостью, цикл максимальной устойчивости. Бифуркации одномерных отображений. Касательная бифуркация, бифуркация вилки, их нормальная (суперкритическая) и обратная (субкритическая) формы. Бифуркация удвоения периода. Свойства двукратно проитерированного отображения. Производная Шварца. Жесткий переход через m=–1. Бифуркации циклов коразмерности один и два. Области устойчивости циклов.

Контрольная работа по разделу 4 учебной программы.

Раздел 5. Двумерные динамические системы с дискретным временем. Неподвижные точки. Циклы. Мультипликаторы цикла двумерного отображения. Условие устойчивости цикла. Возможные бифуркации циклов и неподвижных точек: m=+1, m=–1, бифуркация Неймарка |m|=1. Исследование бифуркаций на примере отображения Эно. Поведение мультипликаторов при изменении управляющих параметров. Понятие об устойчивых и неустойчивых многообразиях устойчивых и неустойчивых циклов, возможное поведение многообразий при изменении управляющих параметров. Методика численного нахождения многообразий.

Контрольная работа по разделу 5 учебной программы.

Раздел 6: Трехмерные потоковые динамические системы и их связь с двумерными динамическими системами с дискретным временем. Устойчивые и неустойчивые предельные циклы. Мультипликаторы цикла и их связь с показателями Ляпунова. Характер поведения изображающей точки вблизи предельного цикла в зависимости от мультипликаторов цикла. Бифуркации циклов: касательная бифуркация, бифуркация удвоения периода, бифуркация рождения двумерного тора.