Расчет переходных процессов методом переменных состояния

Отметим следующие свойства переменных состояния:

1. В качестве переменных состояния в электрических цепях следует выбирать токи в индуктивностях и напряжения на емкостях.

2. Дифференциальные уравнения цепи относительно переменных состояния записываются в канонической форме, т.е. представляются решенными относительно первых производных переменных состояния по времени.

3. Число переменных состояния равно порядку системы дифференциальных уравнений исследуемой электрической цепи.

4. Выбор в качестве переменных состояния токов и напряжений удобен еще и потому, что именно эти величины согласно законам коммутации в момент коммутации не изменяются скачком.

5. Переменные состояния и потому так и называются, что в каждый момент времени задают энергетическое состояние электрической цепи, так как последнее определяется суммой выражений и .

6. Представление уравнений в канонической форме очень удобно при их решении с помощью персонального компьютера и необходимого пакета прикладных программ. Алгоритм составления этих уравнений для любой электрической цепи следующий. Сначала записывают уравнения по законам Кирхгофа, а затем выбирают переменные состояния и путем дифференцирования исходных уравнений и исключения других переменных получаются уравнения метода переменных состояния. При наличии опыта можно ускорит составление этих уравнений.

В настоящее время широкое распространение получили специальные компьютерные математические системы Eureka, Merkury, MatLAB, Mathematica и другие, среди которых наиболее популярна система MathCAD.

Численные методы анализа переходных процессов основаны на методах приближенного интегрирования систем дифференциальных уравнений. Приближенное интегрирование производится путем разбиения промежутка времени, в пределах которого требуется получить решение, на малые интервалы времени , называемые шагом интегрирования. Интегрирование осуществляется последовательно на каждом интервале и расчет ведется шаг за шагом, начиная с момента . Существует большое число различных формул численного интегрирования дифференциальных уравнений.

Итак, составим систему уравнений по законам Кирхгофа для схемы предыдущего примера рис. б без индекса .

.

После преобразований получим систему дифференциальных уравнений в канонической форме:

Ниже приводится фрагмент решения с помощью программы Mathcad.

,

где: .

Ниже приводится график изменения тока переходного режима

Для сравнения приводится график тока переходного режима, полученного классическим методом

Литература