Операции над множествами. Пример 4. Дана совокупность предметов, которую обозначим V ={1, 2, 3, ,11}

Пример 4. Дана совокупность предметов, которую обозначим V ={1, 2, 3,..., 11}. Предположим, что часть предметов, а именно 1, 2, 4 и 6, имеют круглую форму, а часть – 2, 3, 4, 8 и 9 окрашена в белый цвет. То есть множество V имеет два подмножества: А ={1, 2, 4, 6} и В ={2, 3, 4, 8, 9} круглых и белых предметов.

В результате мы получим 4 класса элементов:

1. С₀ = {5, 7, 10, 11} – элементы, которые не обладают ни одним из названных свойств;

2. С₁ = {1, 6} – элементы, обладающие только свойством А (быть круглыми);

3. С₂ = {3, 8, 9} – элементы, обладающие свойством В (быть белыми);

4. С₃ = {2, 4} – элементы, которые обладают одновременно двумя названными свойствами.

Представим полученные классы элементов в виде диаграммы Эйлера – Венна.

Рисунок 1.2. Классы элементов С₀, С₁, С₂, С₃ множества V ▲

На множествах определены бинарные операции, сопоставляющие каждой паре элементов множества элемент того же множества. Множество А замкнуто относительно бинарной операции *, если a * b Î A для всех a, b Î A.

Бинарная операция * называется:

· коммутативной, если a * b = b * a для всех a, b Î A;

· ассоциативной, если a * (b * с) = (a * b) * c для всех a, b, c Î A;

· дистрибутивной (относительно операции · ), если a * (b · с)= (a * b) · (a * c) для всех a, b, c Î A.

Объединением множества А и В называется множество А È В, состоящее из тех же элементов, которые являются элементами А или В.

 

 

Рисунок 1.3. Объединение множеств А и В (А È В)

Пересечением множеств А и В называется множество А Ç В, состоящее из тех же элементов, которые являются элементами А и В.

Рисунок 1.4. Пересечение множеств А и В (А Ç В)

Бинарные операции объединения и пересечения коммутативны и ассоциативны, каждая из них дистрибутивна одна относительно другой.

А È В = В È А; А Ç В = В Ç А;

А Ç (В È С) = (А Ç В) È (А Ç С) (пересечение с объединением равно объединению пересечений);

А È (В Ç С) = (А È В) Ç (А È С) объединение с пересечением равно пересечению объединений).

Разность множеств А – В определяется как множество элементов А, не являющихся элементами В (A \ B = {a: a Î A и a Ï B}).

Из этого определения следует: (А \ В) È (А Ç В) = А.

Рисунок 1.5. Разность множеств А - В

Если А Í Y, то дополнением для множества А в множестве Y называется множество А: А = Y \ А.

Рисунок 1.6. Дополнение для множества А

Пересечение А и А дает пустое множество Ø. А È А = 1

Справедливы следующие равенства, называемые законами де Моргана.

Если А, В Í Y, то А Ç В = А È В; А È В = А Ç В.

Пусть X и Y – произвольные множества. Пару (x, y) элементов x Î X, yÎ Y, взятых в данном порядке, называют упорядоченной парой, считая при этом, что (x₁, y₁) = (x₂, y₂) тогда и только тогда, когда x₁ = x₂, y₁ = y₂.

Декартовым произведением двух множеств X и Y называется множество всех упорядоченных пар (x, y): X × Y = {(x, y)| x Î X, y Î Y}.

Пример 5. Пусть, R – множество всех вещественных чисел. Тогда декартов квадрат R² = R × Rесть просто множество всех декартовых координат на плоскости относительно заданных координатных осей. ▲

Аналогично можно ввести декартово произведение трех, четырех и т.д. множеств. При X₁ = X₂ = X₃ =…= X_k = X cокращенно пишут X^k и говорят о k-й декартовой степени множества X. Элементами X^k являются последовательности, или строки (x₁, x₂, … x_k) длины k.