Выборочное распределение

Основные понятия выборочного метода

Пусть Х – случайная величина, наблюдаемая в случайном эксперименте.

Будем считать, что проведя n раз этот эксперимент в одинаковых условиях, мы получили числа — значения этой случайной величины в первом, втором, и т.д. опытах. Случайная величина Х имеет некоторое распределение , которое нам частично или полностью неизвестно.

Рассмотрим подробнее набор (Х_1, Х₂, …., Х_n), называемый выборкой.

В серии уже произведенных экспериментов выборка — это набор чисел. Но если эту серию экспериментов повторить еще раз, то вместо этого набора мы получим новый набор чисел. Вместо числа Х₁ появится другое число — одно из значений случайной величины Х. То есть Х₁(иХ₂, иХ₃, и т.д.) — переменная величина, которая может принимать те же значения, что и случайная величина Х, и также часто (с теми же вероятностями). Поэтому до опытаХ₁— случайная величина, одинаково распределенная с Х, а после опыта — число, которое мы наблюдаем в первом эксперименте, т.е. одно из возможных значений случайной величины Х₁.

Выборка (Х_1, , Х_2, ...,, Хn) объема n— это набор из независимых и одинаково распределенных случайных величин(< < копий х> >), имеющих, как и Х, распределение F(x).

Выборочное распределение

Рассмотрим какую-нибудь реализацию выборки Х_1, …., Х_n. Введем случайную величину Х*, принимающую значенияХ₁,... , Х_n с вероятностями по (если какие-то из значений совпали, сложим вероятности соответствующее число раз). Таблица распределения вероятностей и функция распределения случайной величины Х* выглядят так:

Х* Х1 Хn P

Распределение величины Х* называют эмпирическим или выборочным распределением. Вычислим математическое ожидание и дисперсию величины Х* и введем обозначения для этих величин:

Точно так же вычислим и момент порядка

Если при построении всех введенных нами характеристик считать выборкуX₁, , X_n, набором случайных величин, то и сами эти характеристики и F_n^*(y) — станут случайными величинами. Эти характеристики выборочного распределения используют для оценки (приближения) соответствующих неизвестных характеристик истинного распределения.

Причина использования характеристик распределения Х* для оценки характеристик истинного распределения Х— в близости этих распределений при больших n.