Решение задачи Коши явным методом Эйлера

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт – ЭНИН

Кафедра – Теоретической и промышленной теплотехники

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ ЯВНЫМ МЕТОДОМ ЭЙЛЕРА

Отчет по лабораторной работе № 4

по курсу «Математическое моделирование и расчеты теплотехнических систем»

Выполнил студент гр. 5Б12 ________ _______ А.С. Солодкин

^{Подпись Дата И.О.Фамилия}

Проверил ассистент ________ _______ С.В. Сыродой

^{Подпись Дата И.О.Фамилия}

Томск – 2013

Цель работы: решение задачи Коши явным методом Эйлера, оценка точности, анализ полученных результатов.

Задание: Решить задачу Коши:

x є [0, π ]

Теоретическая часть:

Пусть необходимо решить ОДУ первого порядка на отрезке [x₀, x_n] при условии y(x₀) = y₀.

Рисунок 1. Геометрическая иллюстрация метода Эйлера

Пользуясь тем, что в точке x₀ известно решение y(x₀) = y₀ и значение его производной , можно записать уравнение касательной к графику искомой функции в точке (x₀, y₀): . При достаточно малом шаге h ордината этой касательной, полученная подстановкой в правую часть значения x₁=x₀+h, должна мало отличаться от ординаты y(x₁) решения задачи Коши. Следовательно, точка (x₁, y₁) пересечения касательной с прямой x = x₁ может быть приближенно принята за новую начальную точку. Через эту точку снова проведем прямую , которая приближенно отражает поведение касательной в точке (x₁, y(x₁)). Подставляя сюда x₂=x₁+h (т.е. пересечение с прямой x = x₂), получим приближенное значение y(x) в точке x₂: и т.д. В итоге для i –й точки получим формулу Эйлера, по которой и ведем расчет:

Решение:

На основе полученных теоретических данных составим блок-схему для решения для данной задачи:

+

-

По данной блок-схеме составим программу для решения поставленной задачи: