С.С. Стивене

ПОНЯТИЕ ГРУППЫ¹

Рассмотрим теперь некоторые другие вопросы из той области, ко­торую Рассел называет философией математики, противопоставляя ее ма­тематике как практическому искусству обращения с математическими символами и операциями. Углубляясь в самое основание предмета изу­чения, с тем чтобы вскрыть, какие понятия являются фундаментальными, мы приходим, как уже видели выше, к некоторым очень простым и в то же время плодотворным идеям. Очевидность некоторых из этих понятий отнюдь не умаляет их важности. Здесь уместно привести слова Д'Арси Томпсона, писавшего, что физика «...заставляет нас вспомнить о том, что... великие люди посвящали себя ей для того, чтобы открыть простые вещи»³. То же самое можно, конечно, сказать и о математике.

Два из наиболее фундаментальных понятий математики были упо­мянуты выше. Это понятия класса элементов и взаимно-однозначного соответствия, или изоморфизма. Третьим является понятие математиче­ской группы, а четвертым — тесно связанное с ним понятие инвариант­ности. Прежде всего мы постараемся уяснить, что математики имеют в виду под группой.

Теория групп существует немногим более ста лет, но она уже осве­тила многие проблемы как алгебры, так и геометрии. Быть может, эта тео­рия не представляет собой своего рода «сезам, откройся» [т.е. средства раз­решения всех проблем. — Ред.-сост.], как это думали в период расцвета ее славы, когда доказательство того, что какая-либо теория подчиняется по­стулатам теории групп, рассматривалось как важное достижение³. Однако группа — это все же очень важное понятие. В ходе дальнейшего изложе­ния мы еще будем использовать его при рассмотрении проблемы подыека-

¹ Стивене С.С. Математика, измерение и психофизика // Экспериментальная психо­
логия / Ред.-сост. С.С.Стивенс. М.: Изд-во иностранной литературы, 1960. С. 43-46.

² Thompson D'Arcy W. On growth and form. N. Y.: Macmillan, 1942. P. 13.

⁸ Cp. Bell E.T. The development of mathematics. N. Y.: MacGraw-Hill, 1945. P. 446.

Стивенс С.С. Понятие группы

ния шкал для измерения. Группа в математике есть множество операций. Эти операции делает группой тот факт, что две операции, следующие одна за другой, приводят к такому же результату, к какому могла бы привести некоторая третья операция. Это, конечно, весьма расплывчатое определение, и мы вынуждены будем придать ему более определенный вид, рассмотрев один пример.

Возьмем порядок игры бейсбольной команды. В ней имеется девять игроков, расставляемых на поле в таком порядке, который тренер находит наиболее целесообразным. Допустим, что игра команды разладилась и тре­нер считает необходимым изменить игровой порядок в команде. Он дела­ет это путем перестановки игроков. Ясно, что каждый из 362 880 [= 9! — Ред.-сост.] возможных порядков может быть получен следующим обра­зом: приняв какой-либо один порядок расположения игроков за исходный, тренер изменяет его, последовательно переставляя в этом порядке одного игрока на место другого. Он может поставить центрального нападающего на место защитника (место № 4) путем замены первого вторым, затем вто­рого третьим и, наконец, третьего четвертым. Таким способом централь­ный нападающий оказывается на месте N° 4. Затем с целью передвижения защитника (который теперь занимает место № 3) на место № 1 тренер дол­жен поменять местами находящихся на № 3 и 2, а также № 2 и 1. В резуль­тате этих пяти отдельных перемещений получается такой же игровой по­рядок, который получился бы в том случае, если бы тренер просто поменял местами игроков № 1 и 4.

Отсюда мы видим, что некоторые комбинации операций эквива­лентны другим комбинациям операций.

На неспециалиста все это производит впечатление тривиальной и оче­видной истины, и его очень удивляет, что это простое понятие, лежащее в основе теории групп перестановок, оказалось для Э.Галуа крайне важным при решении им давно уже стоявшей перед математиками задачи о разре­шимости уравнений. Эти простые группы перестановок находят себе приме­нение даже в современной физике — при описании структуры атома.

Мы вводим понятие группы таким же способом, какой уже исполь­зовали в алгебре, а именно устанавливаем постулаты (требования), ко­торым должно удовлетворять множество операций, для того чтобы его можно было бы назвать «группой».

Прежде всего мы допускаем, что нам дано множество элементов (операций) а, b, с... и символ о, обозначающий их комбинацию. Далее мы полагаем, что это множество подчиняется перечисленным в табл. 1 по­стулатам¹. <...>

<...> Многие различные виды операций образуют группы². Таковы группы перестановок игроков в игровых порядках, электронов, вращаю-

¹ Ср. Harkin D. Fundamental mathematics. N. Y.: Prentice-Hall, 1941. P. 98.

² См.: Blrkhoff G., MacLane S. A survey of modern algebra. N. Y.: Macmillan, 1941.

Тема 15, Познавательные процессы: виды и развитие

Таблица 1

Постулаты теории групп

щихся вокруг атомного ядра, или других порядков вещей. С одной сторо­ны, существуют такие формы вращения объектов в пространстве, которые напоминают вращение колеса с шестью спицами. При каждом повороте на 60° область пространства, ограниченная двумя соседними спицами и вне­шним краем колеса, остается неизменной (инвариантной), и эти повороты на 60° составляют конечную группу, в которой поворот на 360° эквивален­тен тождественной операции — операции невращения. С другой стороны, все возможные движения твердого тела в пространстве образуют бесконеч­ную группу. <...>

Между тем необходимо сказать несколько слов относительно тер­мина операция. В предыдущих параграфах он употреблялся в двух раз­личных значениях: во-первых, он обозначал математическую манипуля­цию (например, умножение) и, во-вторых, конкретное эмпирическое дей­ствие (например, поворот колеса на 60°). И то и другое мы называем операцией, однако эти понятия, очевидно, принадлежат к совершенно раз­личным областям: одно из них относится к сфере формального, а дру­гое — к физическим процессам. Выть может, употребление двух различ­ных слов послужило бы установлению большего порядка, однако этому мешает прочно укоренившаяся традиция, и самое большее, что мы мо­жем сделать, — это лишь постоянно помнить о том, что математические операции могут служить моделью для физических событий, но модель и событие — отнюдь не одно и то же.

P. P. Хок

С ГЛАЗ ДОЛОЙ, НО НЕ ИЗ СОЗНАНИЯ¹

Концепция когнитивного развития сформировалась и была осознана психологами благодаря работам швейцарского ученого Жана Пиаже².

Пиаже является одной из самых влиятельных фигур в истории психологии. Проделанная им работа не только произвела революцию в психологии развития, но и стала фундаментом всех последующих иссле­дований в области изучения формирования интеллекта. Пиаже перво­начально занимался биологией и изучал врожденную способность жи­вотных адаптироваться к новому окружению. Во время учебы в Сорбон­не в Париже он устроился на работу (для заработка), в лабораторию Альфреда Бине, где разрабатывались первые тесты для оценки интеллек­та. В задачу Пиаже входило стандартизировать французскую версию теста на мышление, который изначально был разработан на английском языке. Подобные тесты стандартизируются для того, чтобы вопросы для всех тестируемых детей были максимально сходными. Тогда любая раз­ница в оценках будет объясняться именно ответами ребенка, а не вари­антами теста.

Именно во время занятий этой работой в Париже Жан Пиаже на­чал формировать свои взгляды о когнитивном развитии.

¹ Хок Р.Р. 40 исследований, которые потрясли психологию. Секреты выдающихся
экспериментов. СПб.: Прайм-ЕВРОЗНАК; М.: ОЛМА-ПРЕСС, 2003. С. 181-192.

² См.: Plaget J. The development of object concept: The construction of reality in the
child. N. Y.: Basic Books, 1954. P. 3-96.

21 Зак. 2228

Тема 15. Познавательные процессы: виды и развитие