Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Двумерные случайные величины.
|
|
Часто приходится решать задачи, в которых рассматриваются события, описываемые не одной, а несколькими — в частности, двумя случайными величинами. Так если станок-автомат штампует цилиндрические валики, то диаметр валика 
и его высота 
, образуют систему двух случайных величин 
Двумерной случайной величиной называют систему из двух случайных величин , для которой определена вероятность 
совместного выполнения неравенств 
и 
, где x и y - любые действительные числа.
Функция двух переменных
| (34) |
определенная для любых x и y, называется функцией распределения системы двух случайных величин
Будем рассматривать и как декартовы координаты точки на плоскости. Точка 
может занимать то или иное положение на плоскости 
. Тогда функция распределения даст вероятность того, что случайная точка попадает в область 
, изображенную на рис. 13.
Двумерная случайная величина называется дискретной, если и - дискретные величины.
Пусть возможные значения и образуют, например, конечные последовательности x1, x2,..., xn и y1, y2,..., ys. Возможные значения двумерной случайной величины имеют вид (xi, yj), где i=1, 2,..., n; j=1, 2,..., s. Обозначим через pij вероятность того, что 
Функция распределения F(х, у) имеет вид
где двойная сумма распространена на те i и j, для которых xi< x и yj< y.
Двумерную случайную величину так же, как и одномерную, можно задавать таблицей. Первая строка таблицы содержит возможные значения случайной величины , а первый столбец — возможные значения . В остальных клетках таблицы указаны соответствующие вероятности, причем их сумма всегда равна единице. В качестве примера рассмотрим двумерную случайную величину, заданную следующей таблицей:
| \
| -1 | 0 | 1 |
| 0, 1 | p11=0, 05 | p12=0, 20 | p13=0, 30 |
| 0, 2 | p21=0, 10 | p22=0, 20 | p23=0, 15 |
Сумма всех вероятностей
Две дискретные случайные величины и называются независимыми, если для всех пар i, j выполняется соотношение
Пример 1. Две игральные кости бросают по одному разу. Обозначим через число очков, выпавшее на первой кости, а через — на второй; тогда — Двумерная дискретная величина. Покажем, что величины и независимы.
Решение: Так как каждая из величин и независимо друг от друга может принимать 6 различных значений, то число различных значений двумерной случайной величины равно 36. Все эти значения, очевидно, равновероятны. Поэтому
С другой стороны,
Таким образом,
Пример 2. Двумерная случайная величина имеет плотность распределения
Найти:
1) вероятность р попадания случайной точки в квадрат изображенный на рис. 14;
2) функцию распределения F(х, у);
3) плотности распределения каждой величины и в отдельности.
Решение:
1) Вероятность р попадания случайной точки в квадрат изображенный на рис. 14, согласно формуле (35), равна
2) Используя соотношение (36), находим функцию распределения F(x, y):
3) Плотность распределения случайной величины находим по формуле (37):
Аналогичным образом, используя формулу (38), получим
Легко убедиться в том, что случайные величины и независимы, так как 
|