Различные представления квадратичной функции

1. ВЫДЕЛЕНИЕ ПОЛНОГО КВАДРАТА:
   
2. РАЗЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНЫЕ МНОЖИТЕЛИ
   при D > 0 y = ax ² + bx + c = a (x - x₁)(x - x₂)
   при D = 0 y = ax ² + bx + c = a (x - x₁)²
   при D < 0: разложить на множители нельзя

< =" " a=" " > СВОЙСТВА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ

• ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ: R

• ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ:
  при a > 0 [- D /(4 a); )
  при a < 0 (- ; - D /(4 a)]
• ЧЕТНОСТЬ, НЕЧЕТНОСТЬ:
  при b = 0, то функция четная
  при b 0, то функция ни четная, ни нечетная
• НУЛИ:
  при D > 0 два нуля:
  
  при D = 0 один нуль: x ₁ = - b /(2 a)
  при D < 0 нулей нет
• ПРОМЕЖУТКИ ЗНАКОПОСТОЯНСТВА:
  
  
  если a > 0, D = 0, то y > 0 при x (- ; x ₁)U(x ₁; )
  
  если a > 0, D < 0, то y > 0 при x R
  
  
  
  если a < 0, D = 0, то y < 0 при x (- ; x ₁)U(x ₁; )
  
  если a < 0, D < 0, то y < 0 при x R
  
  
• ПРОМЕЖУТКИ МОНОТОННОСТИ:
  
  
  
  
• ЭКСТРЕМУМЫ:
  
  при a > 0 x_min = -b/ (2 a) y_min = -D /(4 a)
  
  при a < 0 x_max = -b/( 2 a) y_max = -D/ (4 a)

< =" " a=" " > НАПРАВЛЕНИЕ ВЕТВЕЙ, ХАРАКТЕРНЫЕ ТОЧКИ И ОСЬ СИММЕТРИИ ПАРАБОЛЫ,
являющейся графиком функции у = ax ² + bx + c

• Направление ветвей параболы:
  
  при a > 0 ветви направлены вверх
  
  при a < 0 ветви направлены вниз
• Координаты вершины параболы: (- b /2 a; - D /4 a)
• Ось симметрии параболы - прямая
• Точки пересечения (касания) графика с осью х:
  
  D > 0: (точки пересечения)
  
  D = 0: x ₁ = - b /(2 a) (точка касания)
  
  D < 0: общих точек у графика с осью х нет

• Точка пересечения графика с осью у: (0, c), симметричная ей точка относительно параболы (- b/a; c)

Для построения графика квадратичной функции можно использовать некоторые из указанных характеристик. Например, если уравнение
ax ² + bx + c = 0 имеет два корня, удобно использовать координаты вершины параболы и координаты двух точек пересечения параболы с осью х.

< =" " a=" " > ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ ПО НАПРАВЛЕНИЮ ВЕТВЕЙ, ХАРАКТЕРНЫМ ТОЧКАМ И ОСИ СИММЕТРИИ ПАРАБОЛЫ
Примеры:

y = x 2 - 4 x + 3

Ветви направлены вверх, т.к. a = 1 > 0 Координаты вершины (2; -1), т.к. Ось симметрии параболы: Координаты точек пересечения с осью х: (x1; 0) = (1; 0) и (x2; 0) = (3; 0) Координаты точки пересечения с осью у: (0; c) = (0; 3) симметричная ей точка относительно оси параболы:

< =" " a=" " >

y= -x 2 - 6 x - 9

Ветви направлены вниз, т.к. a = -1 < 0 Координаты вершины (-3; 0), т.к. Ось симметрии параболы: Координаты точки касания с осью х: (x1; 0) = (-3; 0). Координаты точки пересечения с осью у: (0; c) = (0; -9) симметричная ей точка относительно оси параболы:

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ
С ПОМОЩЬЮ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
y = x ²
С помощью выделения полного квадрата любую квадратичную функцию можно представить в виде:
Это свойство позволяет построить график квадратичной функции с помощью элементарных преобразований графика функции y = x ².
Построение графика y = a (x - m)² + n можно произвести в три этапа:

	1.Растяжение графика y = x 2 вдоль оси у в а раз (при a < 1 - это сжатие в 1/ a раз). Если a < 0, произвести ещё и зеркальное отражение графика относительно оси х (ветви параболы будут направлены вниз). Результат преобразования: график функции y = ax 2
	2. Произвести параллельный перенос графика функции y = ax 2 вдоль оси x на m (вправо при m > 0 и влево при m < 0). Результат преобразования: график функции y = a(x-m) 2
	3. Параллельный перенос графика функции y = a (x - m)2 вдоль оси y на n (вверх при n > 0 и вниз при n < 0)

Результат преобразования: график функции y = a (x - m)²+ n

Примеры:

1. Растяжение графика функции y = x 2 вдоль оси y в 2 раза	2. Параллельный перенос графика функции y = 2x 2 вдоль оси x на 3 вправо	Параллельный перенос графика функции y = 2(x - 3)2 вдоль оси y на 1 вверх.

1. Сжатие графика функции y = x 2 вдоль оси y в 2 раза и преобразование симметрии относительно оси x	2. Параллельный перенос графика функции y = - x 2 вдоль оси x на 2 влево	Параллельный перенос графика функции y = - (x + 2)2/ 2