Пружинный маятник



Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия. Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению (см. §2.1):

В этом соотношении ω – круговая частота гармонических колебаний. Таким свойством обладает упругая сила в пределах применимости закона Гука (см. §1.12):

Силы любой другой физической природы, удовлетворяющие этому условию, называются квазиупругими. Таким образом, груз некоторой массы m, прикрепленный к пружине жесткости k, второй конец которой закреплен неподвижно (рис. 2.2.1), составляют систему, способную совершать в отсутствие трения свободные гармонические колебания. Груз на пружине называют линейным гармоническим осциллятором.

1

Рисунок 2.2.1. Колебания груза на пружине. Трения нет.

Круговая частота ω 0 свободных колебаний груза на пружине находится из второго закона Ньютона:

откуда

Частота ω 0 называется собственной частотой колебательной системы. Период T гармонических колебаний груза на пружине равен

При горизонтальном расположении системы пружина–груз сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры. Если же груз подвешен на пружине, то сила тяжести направлена по линии движения груза. В положении равновесия пружина растянута на величину x0, равную

и колебания совершаются около этого нового положения равновесия. Приведенные выше выражения для собственной частоты ω 0 и периода колебаний T справедливы и в этом случае. Строгое описание поведения колебательной системы может быть дано, если принять во внимание математическую связь между ускорением тела a и координатой x: ускорение является второй производной координаты тела x по времени t:

Поэтому второй закон Ньютона для груза на пружине может быть записан в виде

или

(*)

где Все физические системы (не только механические), описываемые уравнением (*), способны совершать свободные гармонические колебания, так как решением этого уравнения являются гармонические функции вида

Уравнение (*) называется уравнением свободных колебаний. Следует обратить внимание на то, что физические свойства колебательной системы определяют только собственную частоту колебаний ω 0 или период T. Такие параметры процесса колебаний, как амплитуда xm и начальная фаза φ 0, определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия в начальный момент времени. Если, например, груз был смещен из положения равновесия на расстояние Δ l и затем в момент времени t = 0 отпущен без начальной скорости, то xm = Δ l, φ 0 = 0. Если же грузу, находившемуся в положении равновесия, с помощью резкого толчка была сообщена начальная скорость ±υ 0, то

Таким образом, амплитуда xm свободных колебаний и его начальная фаза φ 0 определяются начальными условиями. Существует много разновидностей механических колебательных систем, в которых используются силы упругих деформаций. На рис. 2.2.2 показан угловой аналог линейного гармонического осциллятора. Горизонтально расположенный диск висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. При повороте диска на угол θ возникает момент сил Mупр упругой деформации кручения:

Это соотношение выражает закон Гука для деформации кручения. Величина χ аналогична жесткости пружины k. Второй закон Ньютона для вращательного движения диска записывается в виде (см. § 1.23)

где I = IC – момент инерции диска относительно оси, проходящий через центр масс, ε – угловое ускорение. По аналогии с грузом на пружине можно получить:

Крутильный маятник широко используется в механических часах. Его называют балансиром. В балансире момент упругих сил создается с помощью спиралевидной пружинки.

Уравнение моментов
Производная момента импульса относительно некоторой оси по времени равна моменту действующей на материальную точку силы относительно той же оси (уравнение моментов).
Или
Момент инерции твердого тела, умноженный на вторую производную от угла (угловое ускорени) равен сумме моментов сил, действующих на тело.

- уравнение моментов:

скорость изменения момента импульса частицы относительно некоторой точки во времени в выбранной системе отсчета равно моменту равнодействующей силы относительно той же точки.

С помощью уравнения моментов решаются две задачи:

1. Известно: найти .

2. Известно: найти за .

- импульс момента силы.

Момент импульса материальной точки относительно точки O определяется векторным произведением
, где — радиус-вектор, проведенный из точки O, — импульс материальной точки.
Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси равен проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки O данной оси. Значение момента импульса не зависит от положения точки O на оси z.