Функции непрерывной случайной величины

Функции случайных величин

Функции дискретной случайной величины

Если аргумент X принимает значения с вероятностями , тогда функция Y = f(x) примет соответствующие значения по некоторому правилу y = f(x) с теми же вероятностями .

Пример. Указан ряд распределения случайной величины:

	– 3	– 2	– 1
	0, 1	0, 1	0, 2	0, 2	0, 2	0, 1	0, 1

Значения находим по формуле :

	0, 1	0, 1	0, 2	0, 2	0, 2	0, 1	0, 1

Составим ряд распределения случайной величины . Поскольку разным значениям соответствуют одинаковые значения , объединим их, указав в таблице суммарную вероятность:

	0, 2	0, 4	0, 2	0, 2

Функции непрерывной случайной величины

Пусть непрерывная случайная величина X, принимающая значения на промежутке , с плотностью распределения р(х) и другая случайная величина Y связаны функциональной зависимостью Y = f(x). Найти промежуток , на котором принимает свои значения Y, и плотность распределения Y .

Пусть р(х) и f(x) – непрерывные функции, причем f(x) – возрастающая на функция. Каждому значению х случайной величины Х соответствует определенное значение y случайной величины Y. Изменению Х от х до x + dx отвечает изменение Y от y до y + dy, поэтому вероятности попадания на эти промежутки одинаковы: . Используя функции плотности распределения, предыдущее равенство можно записать так: . Откуда следует: .

Если же на промежутке f(x) – убывающая функция, то . Т.к. производная прямой и обратной функции связаны соотношением , то . Поскольку по определению неотрицательная функция, то, чтобы найти , нужно использовать следующую формулу: .

В том случае, если на имеется несколько промежутков возрастания и убывания, то нужно найти плотность распределения на каждом участке. Сумма полученных функций даст искомую плотность распределения:

,

где n – число промежутков строго монотонного изменения функции f(x).

Пример. Случайная величина Х принимает значения на промежутке с плотностью . Найти промежуток изменения и плотность распределения случайной величины . Построив график функции на промежутке , найдем, что .

Из графика видно, что на промежутке функция возрастает, а на промежутке убывает. Найдем вид функции : , откуда . Если , то ; если , то . Определим :

.

Теперь найдем :

.

Следовательно, . Сделаем проверку:

.