![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Параметры Эйлера
Теорема Эйлера утверждает, что угловая ориентация любой системы координат Как и ранее будем рассматривать только правые системы координат. Будем также считать, что положительное значение угла поворота соответствует повороту по правилу правого винта (правилу «буравчика»). Обозначим
Параметры Эйлера определяются следующими выражениями
где Параметры Эйлера также принято называть кватернионом. В отличие от трехкратных поворотов параметры Эйлера не имеют особых точек, и поэтому они часто используются для описания ориентации систем координат. Отметим некоторые свойства параметров Эйлера. Свойство 1. Сумма квадратов параметров Эйлера равна единице.
Свойство 2. Одновременное изменение знаков всех параметров Эйлера не изменяет ориентацию системы координат. Примем, что параметры Эйлера определяют поворот 2-й системы координат относительно 1-й системы координат при их первоначальном совпадении. В этом случае матрица поворота имеет следующий вид
Предположим, что известны значения элементов матрицы поворота
Тогда из (4) можно определить значения параметров Эйлера. Используя свойство 1 можно получить следующее выражение для суммы элементов на главной диагонали
Отсюда получаем
В соответствии со свойством 2 можно взять как положительное так и отрицательное значение
в противном случае выбирается наибольший элемент на главной диагонали. В соответствии со свойствами матрицы поворота его значение больше минус единица. Предположим это
Продифференцировав (3) получаем следующее соотношение
Из выражения для угловой скорости
Из выражения для углового ускорения
Из соотношения (7) следует, что для параметров Эйлера в общем выражении для углового ускорения Добавив в соотношение (6) уравнение (5) получаем следующую систему уравнений с квадратной матрицей коэффициентов
Используя свойство 1 можно показать, что для матрицы коэффициентов
то есть ее обратная матрица равна транспонированной матрице Разрешив систему уравнений (8) относительно
Обозначив
Используя (9) и (11) можно показать, что
Продифференцировав (5) получаем следующее соотношение
Добавив в соотношение (7) уравнение (13) получаем следующую систему уравнений с такой же квадратной матрицей коэффициентов
Разрешив систему уравнений (14) относительно
Для удобства представления итоговых соотношений введем следующие матрицы размером 4*3
Подводя итоги можно констатировать, что угловые скорости и ускорения двух систем координат – базисов
где
|