Параметры Эйлера

Теорема Эйлера утверждает, что угловая ориентация любой системы координат может быть совмещена с угловой ориентацией любой другой системы координат поворотом вокруг единичного вектора на некоторый угол, при этом координаты вектора в обеих системах координат совпадают.

Как и ранее будем рассматривать только правые системы координат. Будем также считать, что положительное значение угла поворота соответствует повороту по правилу правого винта (правилу «буравчика»).

Обозначим

;

.

Параметры Эйлера определяются следующими выражениями

; (1)

, (2)

где - угол поворота; - единичный вектор, вокруг которого производится поворот, .

Параметры Эйлера также принято называть кватернионом. В отличие от трехкратных поворотов параметры Эйлера не имеют особых точек, и поэтому они часто используются для описания ориентации систем координат. Отметим некоторые свойства параметров Эйлера.

Свойство 1. Сумма квадратов параметров Эйлера равна единице.

. (3)

Свойство 2. Одновременное изменение знаков всех параметров Эйлера не изменяет ориентацию системы координат.

Примем, что параметры Эйлера определяют поворот 2-й системы координат относительно 1-й системы координат при их первоначальном совпадении. В этом случае матрица поворота имеет следующий вид

. (4)

Предположим, что известны значения элементов матрицы поворота

.

Тогда из (4) можно определить значения параметров Эйлера. Используя свойство 1 можно получить следующее выражение для суммы элементов на главной диагонали

.

Отсюда получаем

.

В соответствии со свойством 2 можно взять как положительное так и отрицательное значение . Если , тогда

, , ,

в противном случае выбирается наибольший элемент на главной диагонали. В соответствии со свойствами матрицы поворота его значение больше минус единица. Предположим это , тогда

, , .

Продифференцировав (3) получаем следующее соотношение

. (5)

Из выражения для угловой скорости с учетом (5) получаем следующее соотношение для вектора угловой скорости

. (6)

Из выражения для углового ускорения получаем следующее соотношение для вектора углового ускорения

. (7)

Из соотношения (7) следует, что для параметров Эйлера в общем выражении для углового ускорения вектор .

Добавив в соотношение (6) уравнение (5) получаем следующую систему уравнений с квадратной матрицей коэффициентов

. (8)

Используя свойство 1 можно показать, что для матрицы коэффициентов выполняется условие

, (9)

то есть ее обратная матрица равна транспонированной матрице .

Разрешив систему уравнений (8) относительно представим результат в следующем виде

. (10)

Обозначив запишем (8) в следующем виде

. (11)

Используя (9) и (11) можно показать, что

(12)

Продифференцировав (5) получаем следующее соотношение

. (13)

Добавив в соотношение (7) уравнение (13) получаем следующую систему уравнений с такой же квадратной матрицей коэффициентов как и в системе уравнений (8)

. (14)

Разрешив систему уравнений (14) относительно с учетом (12) представим результат в следующем виде

. (15)

Для удобства представления итоговых соотношений введем следующие матрицы размером 4*3

;

.

Подводя итоги можно констатировать, что угловые скорости и ускорения двух систем координат – базисов и связаны с параметрами Эйлера следующими соотношениями

;

;

;

;

;

,

где - параметры Эйлера, определяющие поворот базиса относительно базиса при их первоначальном совпадении;

- угловая скорость базиса относительно базиса в системе координат базиса ;

- угловая скорость базиса относительно базиса в системе координат базиса ;

- угловое ускорение базиса относительно базиса в системе координат базиса ;

- угловое ускорение базиса относительно базиса в системе координат базиса .