Примечания. 2. Некоторых читателей может беспокоить тот факт, что в среде математиков действитель­ но существуют различные точки зрения

1. Как мы видели в главе 4 (с. 10S), проверка справедливости доказательства в формаль­ной системе всегда имеет алгоритмический характер. И наоборот, любой алгоритм, ко­торый позволяет получать математически истинные утверждения, всегда можно до­бавить в систему аксиом и правил выво­да обычной логики («предикатного исчи­сления»), тем самым создавая новую фор­мальную систему выведения математичес­ких истин.

2. Некоторых читателей может беспокоить тот факт, что в среде математиков действитель­ но существуют различные точки зрения.
Вспомним рассуждения, приведенные в гла­ве 4. Однако имеющиеся разногласия не так
важны для нас. Они относятся только к в высшей степени абстрактным вопросам, касающимся очень больших множеств, в то время как мы вполне можем ограничиться утверждениями арифметического характера (с конечным числом кванторов существова­ния и всеобщности) и применить дальней­шие рассуждения. (Возможно, здесь допу­щено некоторое преувеличение, поскольку принцип рефлексии, относящийся к беско­нечным множествам, может иногда исполь­зоваться для вывода утверждений в ариф­метике.) Что касается крайне догматичного и не желающего соглашаться с Геделем фор­малиста, для которого такая вещь, как ма­тематическая истина, вообще не существу­ет, то я его буду просто-напросто игно­рировать, поскольку он явно не обладает способностью интуитивного понимания ис­тины, которой посвящены наши рассуж­дения!

Конечно, математики иногда допускают ошибки. Кажется, сам Тьюринг считал, что именно это и есть «лазейка», которая по­зволяет обойти аргументы геделевского ти­па в пользу того, что человеческое мышле­ние существенно неалгоритмично. Но лично мне кажется невероятным, что свойство лю­дей ошибаться каким-либо образом связано с нашей способностью к прозрениям! (Меж­ду прочим, генераторы случайных чисел мо­гут быть успешно реализованы при помощи алгоритмов.)

3. Термин «черная дыра» вошел во всеобщее употребление много позже, около 1968 года (главным образом благодаря пророческим идеям американского физика Джона А. Уилера).

4. Мне кажется, что потребность животных во сне, во время которого они иногда ви­дят сны (как это бывает часто заметно у со­бак), может служить свидетельством того,
что они, вполне вероятно, наделены созна­нием. Ибо разница между сном без сновиде­
ний и сном со сновидениями, по-видимому, во многом определяется как раз наличием
сознания.

5. В случае специальной или общей теории относительности под «временами» следует понимать «одновременные пространства» или «пространственно-подобные поверхно­ сти» (с. 167, 177).

6. Однако в случае пространственно-беско. нечной вселенной есть затруднения, пос­кольку тогда возникает (как и в случае мно­жественных миров) бесконечное количе­
ство копий наблюдателя и его непосред­ственного окружения! Будущее поведение
каждой копии может несколько отличать­ся, и никто не в состоянии сказать на­
верняка, какой из приблизительных копий самого себя, смоделированных математи­
ческим путем, он мог бы на самом деле «быть»!

7. Даже в ходе реального роста некоторых кри­сталлов могут возникать подобные пробле­мы — например, там_; где исходная клет­ка кристаллической решетки содержит не­
сколько сот атомов (случай так называе­мых «фаз Фрэнка—Каспера»). С другой сто­
роны, следует упомянуть, что теоретичес­кий «почти локальный» (хотя все же не­
локальный) процесс роста квазикристаллов с осью пятого порядка был предложен Оно-
дой, Стайнхардтом, Ди Винченцо и Соколаром [1988].