Предприятия В. Лаунхардта

Главное открытие немецкого ученого В. Лаунхардта, основная работа которого была опубликована в 1882 г., — метод нахождения пункта оптимального размещения отдельного промышленного предприятия относительно источников сырья рынка сбыта продукции.

Решающим фактором размещения производства у В. Лаунхардта, так же как и у Й. Тюнена, являются транспортные издержки. Производственные затраты принимаются равными для всех точек исследуемой территории. Точка оптимального размещения предприятия находится в зависимости от весовых соотношений перевозимых грузов и расстояний. Для решения этой задачи В. Лаунхардт разработал метод весового (или локационного) треугольника (рис. 3.2).

Пусть требуется найти пункт размещения нового металлургического завода. Известны пункт добычи железной руды — точка A пункт добычи угля — точка В и пункт потребления металла — точка С (рис.3.2). Транспортный тариф равен t (на 1 т/км). Расходы руды на выплавку 1т металла составляют: а; расход угля — b. Известны также расстояния между пунктами (стороны локационного треугольника): АС = S ₁; ВС = S ₂; АВ = S ₃.

Возможным пунктом размещения металлургического завода может быть в принципе каждая из трех точек размещения источников руды, угля и потребителя металла. В этих случаях суммарные затраты, связанные с перевозкой всех необходимых грузов для потребления 1т металла, будут равны:

(b S ₃ + S ₁) t — при размещении завода в точке А;

(a S ₃ + S ₂) t — при размещении завода в точке В;

(a S ₁ + S ₂) t — при размещении завода в точке С.

Рис. 3.2. Локационный треугольник В. Лаунхардта

Наилучшим пунктом размещения завода из рассмотренных трех будет тот, в котором транспортные затраты минимальны. Однако искомый пункт размещения может не совпадать ни с одной из вершин локационного треугольника, а находиться внутри него в некоторой точке М.

Расстояние от внутренней точки М до вершин треугольника составляют: AM = r ₁ ВМ = r ₂ СМ = r _3. Тогда транспортные издержки при размещении металлургического завода в точке М будут равны Т = (ar ₁ + br ₂ ++ r ₃) t. Выполнение требования Т → min дает точку оптимального местоположения предприятия.

Данная задача имеет геометрическое и механическое решения.

Геометрический метод нахождения точки размещения в том, что на каждой из сторон локационного треугольника строится треугольник, подобный весовому (стороны которого относятся как а: b: 1). Затем вокруг построенных таким образом треугольников описываются окружности, точка пересечения которых и является точкой минимума транспортных издержек. Этот метод применим для случая, когда соотношения расстояний S ₁, S _2, S ₃ соответствуют свойству треугольника (одна сторона меньше суммы двух других). В противном случае (например когда S ₁ > S ₂ + S ₃) точка минимума транспортных затрат будет совпадать с одной из вершин локационного треугольника.

Механическое решение рассматриваемой задачи основывается на аналогии с методом нахождения точки равновесия сил. При этом веса руды, угля, металла выступают в качестве сил, с которыми притягивают производство соответствующие вершины локационного треугольника. Искомая точка является точкой равновесия трех связанных нитей, проходящих через вершины локационного треугольника. При этом к концам нитей подвешены грузы (Q_a, Q_b, Q_c), пропорциональные a, b, 1. Весовой треугольник В. Лаунхардта — одна из первых в экономической науке физических моделей, используемых для решения теоретических и практических задач.

Изложенный метод нахождения оптимального размещения предприятия применим и для большего числа точек (видов сырья) при условии, что они образуют выпуклый многоугольник.