Правого конца интервала

Ясно, что если, скажем, мы будем откладывать единичные интервалы не от 0, а от 1, то получим для тех же данных значения медиан, равные 3, 2 и 3, 7, и т.д. И все медианы сдвинутся по сравнению с ситуацией, изображенной на рис. 5.6, на 1 в первом случае и на 1, 5 - во втором. Естественно, структура интервалов между медианами, как и выше, не изменится.

Если наши интервалы изменятся по длине (вспомним рис. 5.5), то все медианы уменьшатся (увеличатся) в соответствующее число раз, но структура интервалов между медианами останется той же. Таким образом, если исходные ранги получены по интервальной шкале, то и совокупность медиан (значений наших суждений) можно будет считать полученной по интервальной шкале.

Интервальность установочной шкалы Терстоуна

Теперь попытаемся обосновать тот факт, что при использовании предложенной Терстоуном техники мы действительно получаем интервальную шкалу. Подведем итог сказанному выше.

Напомним, что мы сочли возможным считать все оценки-ранги, отвечающие одному суждению, полученными как бы от одного человека. При этом было показано, что соответствующую шкалу можно считать интервальной (за счет осмысленности равенства разностей между рангами). Истинное мнение такого обобщенного человека об указанном суждении отвечает медиане этих суждений, разброс имеет место за счет каких-то случайных флуктуаций.

Далее мы показали, что медианы разных суждений можно считать полученными по интервальной шкале (поскольку совокупность таких медиан была определена так же, как и совокупность тех рангов, из которых медианы получались, - с точностью до структуры интервалов между ними). При этом фактически было доказано более общее положение (" теорема"): если у нас имеется ряд распределений случайных величин, все значения которых можно считать полученными по одной и той же интервальной шкале, то совокупность медиан этих распределений тоже можно считать полученной по интервальной шкале.

Совокупность медиан суждений, отмеченных каким-либо одним респондентом, при его опросе на третьем этапе построения шкалы, мы также считаем случайным образом разбросанными оценками того, что мы ищем, - значения изучаемой установки этого респондента. Медиана этих оценок - шкальное значение респондента. Каждому респонденту отвечает свой " разброс". Таким образом, совокупность итоговых шкальных значении наших респондентов - это совокупность медиан распределении случайных величин, значения которых в свою очередь являются полученными по интервальной шкале медианами. Интерваль-ность этой шкалы вытекает из сформулированной выше " теоремы".

Резюмируя все сказанное выше, можно заметить, что в качестве дополнительных предположений об изучаемой ЭС (тех, которые служат заменой непосредственного измерения сложных отношений, отображение которых в числа требуется для получения интервальной шкалы, см. п. 3.1) в данном случае фигурируют все сделанные выше предположения о свойствах ответов наших респондентов: об однородности совокупности экспертов; о равенстве расстояний между суждениями, отнесенными к соседним ячейкам; о неоднозначности совокупности рангов, приписанных разным суждениям одним респондентом, и т.д.

Перейдем к рассмотрению метода построения оценочной шкалы, основанного на схожих предположениях. Идея метода также принадлежит Терстоуну.

Глава 6. МЕТОД ПАРНЫХ СРАВНЕНИЙ: ПС

Итак, метод парных сравнений - это метод построения оценочной шкалы. Вариант, предложенный Терстоуном, представлял собой довольно узкий подход к шкалированию. Но в настоящее время соответствующие идеи, будучи расширенными, привели к созданию довольно мощной ветви прикладной статистики [Адлер, Шмерлинг, 1978; Дэвид, 1978]. Здесь мы имеем иллюстрацию к упомянутому в п. 3.3 положению: содержательные (здесь - социально-психологические) идеи, будучи четко сформулированными (с использованием математического языка), дали толчок развитию соответствующей математической теории, которая затем начала возвращаться в содержательную область, породившую исходные идеи.

Прежде чем описывать метод, необходимо сказать несколько слов о термине " метод ПС". Дело в том, что в литературе он используется в двух смыслах: в узком и широком. Коротко рассмотрим, в чем здесь дело.

Строго говоря, метод ПС - это метод получения исходных данных, метод своеобразного опроса респондентов. Этот метод будет описан нами в п. 6.1. Соответствующее использование интересующего нас термина отвечает его узкому смыслу. На базе полученных данных можно решать разные задачи, совсем необязательно включающие в себя построение оценочной шкалы. Построение такой шкалы - это лишь одна из возможных задач.

В литературе то же самое название (метод ПС) употребляется также для обозначения широкого круга методов, включающих в себя не только упомянутый выше метод сбора данных, но и способы построения на его основе оценочной шкалы. Такое использование термина отвечает определенному нами широкому смыслу, который отражен в основном в п. 6.2.

6.1. ПС как метод сбора данных

Содержание метода. Свойства получаемых матриц

Выше мы говорили о недостатках, с которыми сопряжено получение оценочной шкалы на базе либо прямых числовых оценок респондентами шкалируемых объектов, либо ранжировок. В психологии показано, что большего доверия заслуживает несколько иной метод сбора данных - так называемый метод парных (попарных) сравнений шкалируемых объектов. Суть его состоит в следующем.

Предположим, что нас интересует, как респонденты изучаемой совокупности оценивают какие-либо объекты - профессии, политических лидеров, радиопередачи, какие-то виды товаров и т.д. Обозначим эти объекты через а1, а2,..., аn (n - количество оцениваемых объектов). Рассматриваемый метод позволяет получить ответ на этот вопрос в довольно своеобразном виде. Каждому респонденту предлагаются всевозможные пары, составленные из рассматриваемых объектов. Он должен относительно каждой пары сказать, какой объект из этой пары ему нравится больше. Скажем, в случае рассмотрения в качестве наших объектов некоторых профессий - к примеру, токаря, пекаря, лекаря и т.д. - мы спрашиваем у каждого респондента, какая профессия ему больше нравится: токарь или пекарь (фиксируем ответ), токарь или лекарь (фиксируем ответ), пекарь или лекарь (фиксируем ответ) и т.д. для всех возможных пар рассматриваемых объектов.

Полученные таким образом данные обычно сводятся в квадратную матрицу из 0 и 1, число строк и столбцов которой равно числу рассматриваемых объектов и элементы которой получаются следующим образом: на пересечении j-й строки j-го столбца такой матрицы стоит 1, если j-и объект нравится рассматриваемому респонденту больше, чем j-й, и стоит 0, если, напротив, j-й объект респонденту более симпатичен, чем j-и (вместо выражения " больше нравится" здесь, в зависимости от задачи, могут фигурировать словосочетания " больше", " красивее", " более престижен", " больше подходит" и т.д.). Будем называть такую матрицу матрицей парных сравнений.

Ниже вместо выражений типа " объект a_i лучше объекта a_j" будем использовать выражение " a_i> a_j". В общем виде матрицу для респондента r_l (l = l,..., N, где N - количество респондентов) обозначим через ||? _ij^l||, где

1, если респондент r_lсказал, что a_i> a_j,

? _ij^l = 0, если респондент r_lсказал, что a_j > a_i

В качестве примера такой матрицы см. табл. 6.1.

Таблица 6.1. Пример матрицы парных сравнений, полученной от одного респондента

По главной диагонали матрицы нами проставлены крестики, поскольку мы считаем, что сам с собой объект не сравнивается. Нетрудно проверить, что суть отраженной с помощью этой матрицы информации обусловливает некоторые формальные свойства матрицы.

Во-первых, она должна быть асимметричной: если на пересечении i-и строки j-го столбца стоит 1 (0), то на пересечении j-йстроки и i-го столбца должен стоять 0 (1). Мы видим, что это свойство выполняется для матрицы, изображенной на рис. 6.1. Так, на пересечении первой строки и последнего столбца у нас стоит 1. Это означает, что первый объект нравится нашему респонденту больше, чем последний. В таком случае естественно ожидать, что последний объект будет ему нравиться меньше, чем первый, и, следовательно, на пересечении последней строки и первого столбца матрицы должен стоять 0, что и имеет место.

Во-вторых, матрица должна удовлетворять условию транзитивности: если некий объект a_i нравится респонденту больше, чем а_j, а a_i больше, чем а_k то естественно ожидать, что объект a_i будет ему нравиться больше, чем а_k. Так, на нашем рисунке можно видеть, что первый объект нравится рассматриваемому респонденту больше второго (на пересечении первой строки и второго столбца стоит 1), а второй - больше последнего (на пересечении второй строки с последним столбцом стоит 1). Естественно ожидать, что первый объект будет нравиться респонденту больше, чем последний, что и отражает матрица, поскольку в ней на пересечении первой строки и последнего столбца стоит 1.

В то, что результаты парных сравнений заслуживают большего доверия, чем, скажем, ранжировка, можно поверить: встав на точку зрения респондента, нетрудно понять, что проранжи-ровать все объекты иногда бывает весьма трудно, в то время как попарно их сравнить гораздо легче.

Метод ПС дает результаты, иногда весьма отличные от метода ранжирования. Мы неоднократно проводили эксперименты со студентами-социологами: с некоторым разрывом во времени просили их сначала попарно сравнить некие объекты, а потом про-ранжировать их же. Результаты весьма отличались друг от друга (и это - для будущих профессионалов, рефлексирующих по поводу того, что они делают, что же ожидать от " простых" респондентов, далеких от науки?). Более того, много раз оказывалось невозможным на базе парных сравнений построить ранжировку. Ниже, в п. 6.1.3, мы рассмотрим возможные причины возникновения такой ситуации.