В действительном мире.

К стр. 17—181: Согласие между мышлением и бытием.—Бесконечное в математике.

Над всем нашим теоретическим мышлением господствует с абсолютной силой тот факт, что наше субъективное мышление и объективный мир подчинены одним и тем же законам и что поэтому оба они не могут противоречить друг другу в своих конечных результатах, а должны согласоваться между собой. Факт этот является бессознательной и безусловной предпосылкой нашего теоретического мышления. Материализм XVIII столетия, будучи по существу метафизического характера, исследовал эту предпосылку только с точки зрения ее содержания. Он ограничился доказательством того, что содержание всякого мышления и знания должно происходить из чувственного опыта, и восстановил старое положение: nihil est in intellectu, quod non fuerit in sensu. Только современная идеалистическая — но вместе с тем и диалектическая — философия, в особенности Гегель, исследовала эту предпосылку также с точки зрения формы. Несмотря на бесчисленные произвольные и фантастические построения этой философии, несмотря на идеалистическую, на голову поставленную, форму ее конечного результата — единства мышления и бытия, — нельзя отрицать того, что она доказала на множестве примеров, взятых из самых разнообразных отраслей знания, аналогию между процессами мышления и процессами в области природы и истории, и обратно, и господство одинаковых законов для всех этих процессов. С другой стороны, современное естествознание до того расширило тезис об опытном происхождении всего содержания мышления, что от его старой метафизической ограниченности и формулировки ничего не осталось. Естествознание, признав наследственность приобретенных

------------------------------------

1 [Эти указания относятся к страницам первого издания «Анти-Дюринга».]

344 ПРИЛОЖЕНИЯ К «АНТИ-ДЮРИНГУ»

свойств, расширяет субъект опыта, делая им не индивида, а род;

нет вовсе необходимости, чтобы отдельный индивид имел известный опыт; его частный опыт может быть до известной степени заменен результатами опытов ряда его предков. Если, например, среди нас математические аксиомы кажутся каждому восьмилетнему ребенку чем-то само собою разумеющимся, не нуждающимся в опытном доказательстве, то это является лишь результатом накопленной наследственности. Бушмену же или австралийскому негру их трудно втолковать путем доказательства.

В предлагаемом сочинении диалектика рассматривается как наука о наиболее общих законах всякого движения. Это означает, что законы ее должны иметь силу для движения как в области физической природы и человеческой истории, так и для движения мышления. Подобный закон можно установить в двух из этих трех областей и даже во всех трех, причем рутинер-метафизик даже не заметит, что дело здесь идет об одном и том же законе. Возьмем пример. Из всех теоретических успехов знания вряд ли какой оценивается так высоко, считаясь величайшим торжеством человеческого духа, как открытие исчисления бесконечно-малых во второй половине XVII столетня. Здесь, кажется, скорее, чем где бы то ни было, мы имеем перед собой чистое и исключительное деяние человеческого духа. Тайна, окружающая еще и в наше время применяемые в исчислении бесконечно-малых величин диференциалы и бесконечные разных порядков, является лучшим доказательством того, что и поныне еще воображают, будто здесь имеют дело с чистыми, свободными творениями и созданиями человеческого духа, для которых нет ничего соответственного в объективном мире. Между тем справедливо как раз обратное. Мы встречаем для всех этих мнимых величин прообразы в природе.

Наша геометрия исходит из пространственных отношений, а наша арифметика и алгебра — из числовых величин, соответствующих нашим земным отношениям, т. е. соответствующих телесным величинам, которые механика называет массами, — массами, как они встречаются на земле и приводятся в движение людьми. По сравнению с этими массами масса земли кажется бесконечно великой и рассматривается земной механикой как бесконечно большая величина. Радпус земли = оо, таков принцип механики при рассмотрении закона падения. Но не только земля, а и вся солнечная система и все встречающиеся в ней расстояния оказываются, с своей стороны, бесконечно малыми, как только мы начинаем интересоваться наблюдаемой в телескоп звездной системой, расстояния в которой приходится опре-

ПРИМЕЧАНИЯ К «АНТИ-ДЮРИНГУ» 345

делять уже световыми годами. Таким образом, мы имеем здесь перед собой бесконечные величины не только первого, но и второго порядка, и можем предоставить фантазии наших читателей — если им это нравится — построить себе дальнейшие бесконечные величины высших порядков в бесконечном пространстве.

Но, согласно господствующим теперь в физике и химии взглядам, земные массы, тела, служащие объектами механики, состоят из молекул, из мельчайших частиц, которых нельзя делить дальше, не уничтожая физического и химического тожества рассматриваемого тела. Согласно вычислениям В. Томсона, диаметр наименьшей из этих молекул не может быть меньше одной пятидесятимиллионной доли миллиметра. Допустим также, что наибольшая молекула имеет диаметр в одну двадцатипятимиллионную долю миллиметра. В таком случае это все еще ничтожно малая величина по сравнению с теми наименьшими массами, с которыми оперируют механика, физика и даже химия. Между тем она обладает всеми присущими соответственной массе свойствами; она может замещать в физическом и химическом отношении эту массу и, действительно, замещает ее во всех химических уравнениях. Короче говоря, она обладает по отношению к соответствующей массе теми же самыми свойствами, какими обладает математический диференциал по отношению к своей переменной, с той лишь разницей, что то, что в случае диференциала, в математической абстракции, кажется нам таинственным и непонятным, здесь становится само собою разумеющимся и, так сказать, очевидным.

Природа оперирует этими диференциалами, молекулами, точно таким же образом и по точно таким же законам, как математика оперирует своими абстрактными диференциалами. Так, например, диференциал от х3 будет Зx2dx, причем мы пренебрегаем 3xdx2 и dx3. Если мы сделаем соответственное геометрическое построение, то мы получим куб, длина стороны которого x, причем длина эта увеличивается на бесконечно-малую величину dx. Допустим, что этот куб состоит из какого-нибудь возгоночного вещества, скажем, из серы;

допустим, что три прилегающие к одной вершине поверхности защищены, а другие три свободны. Поместим этот серный куб в атмосферу из серного газа и понизим температуру последней надлежащим образом; в таком случае серный газ начнет осаждаться на трех свободных гранях нашего куба. Мы не пойдем вразрез с опытными данными физики и химии, если, желая представить себе этот процесс в его чистом виде, мы допустим, что на каждой из этих трех граней осаждается прежде всего слой толщиной в одну молекулу. Длина

346 ПРИЛОЖЕНИЯ К «АНТИ-ДЮРИНГУ»

стороны куба х увеличилась на диаметр одной молекулы, на dx;. Объем же куба x3 увеличился на разницу между x3 и x3 + Зxгdx + + 3 xdx2 + dx3, причем мы, подобно математике и с тем же правом, можем пренебречь dx3, т. е. одной молекулой, и 3xdx2, тремя рядами линейно расположенных друг около друга молекул длиной в dx. Результат одинаков: приращение массы куба равно Зх2dх. < Строго говоря, у серного куба dx3 и Зxdx2 не бывает, ибо две или три молекулы не могут находиться в том же пространстве, и прирост его массы точно равен поэтому 3x2dx. Это находит себе объяснение в том, что в математике dx есть линейная величина, но таких линий, не имеющих толщины и ширины, в природе самостоятельно, как известно, не существует, а следовательно, математические абстракции только в чистой математике и имеют безусловную значимость. А так как и она пренебрегает 3xdx2 + dx3, то получается одно и то же.> То же самое можно сказать и об испарении. Если в стакане воды происходит испарение верхнего слоя молекул, то высота слоя воды уменьшается на dx, и продолжающееся улетучивание одного слоя молекул за другим фактически есть продолжающееся диференцированне. А если, под влиянием давления и охлаждения, пар в каком-нибудь сосуде сгущается, превращаясь в воду, и один слой молекул отлагается на другом (причем мы отвлекаемся от усложняющих процесс подобных обстоятельств), пока сосуд не заполнится, то перед нами здесь буквально происходит интегрирование, отличающееся от математического интегрирования лишь тем, что одно совершается сознательно, человеческой головой, а другое — бессознательно, природой. Но процессы, совершенно аналогичные процессам исчисления бесконечно-малых, происходят не только при переходе из жидкого состояния в газообразное и наоборот. Химия разлагает молекулы на атомы, имеющие меньшую массу и протяженность, но представляющие величины того же порядка, что и первые, так что молекулы и атомы находятся в определенных, конечных отношениях друг к другу. Следовательно, все химические уравнения, выражающие молекулярный состав тел, представляют собой по форме диференциальные уравнения. Но в действительности они уже интегрированы благодаря фигурирующим в них атомным весам. Химия оперирует диференциалами, числовое взаимоотношение которых известно.

Но атомы не считаются чем-то простым, не считаются вообще мельчайшими известными нам частицами материи. Не говоря уже о химиках, которые все больше и больше склоняются к мнению, что атомы обладают сложным составом, большинство физиков утверждает, что мировой эфир, являющийся носителем световых и те-

ПРИМЕЧАНИЯ К «АНТИ-ДЮРИНГУ» 347

пловых излучений, состоит тоже из дискретных частиц, столь малых, однако, что они относятся к химическим атомам и физическим молекулам так, как эти последние к механическим массам, т. е. относятся как d2х к dx. Здесь, таким образом, общераспространенное представление о строении материи тоже оперирует диференциалами второго порядка, и ничто не мешает человеку, которому бы это понравилось, вообразить себе, что в природе имеются еще аналогии

d3х, d4x и т. д.

Но какого бы взгляда ни придерживаться относительно строения материи, факт тот, что она расчленена, представляя собою ряд больших, хорошо отграниченных групп относительной массовид-ноcти, так что члены каждой подобной группы находятся со стороны массы в определенных, конечных отношениях друг к другу, а к членам ближайших групп относятся как к бесконечно-большим или бесконечно-малым величинам в смысле математики. Видимая глазом система звезд, солнечная система, земные массы, молекулы и атомы, наконец, частицы эфира образуют каждая подобную группу. Дело не меняется оттого, что мы находим промежуточные звенья между отдельными группами; так, например, между массами солнечной системы и земными массами мы встречаем астероиды, — из которых некоторые не больше, скажем, княжества Рейсе младшей линии, — метеоры и т. д.; так, между земными массами и молекулами мы встречаем в органическом мире клетку. Эти средние звенья показывают только, что в природе нет никаких скачков именно потому, что она состоит только из скачков.

Поскольку математика оперирует реальными величинами, она применяет спокойно эту точку зрения. Для земной механики масса земли является бесконечно великой; в астрономии земные массы и соответствующие им метеоры рассматриваются как бесконечно малые; точно так же расстояния и массы планет солнечной системы являются в глазах астрономии ничтожно малыми величинами, лишь только она оставляет пределы солнечной системы и начинает изучать строение нашей звездной системы. Но лишь только математика укроется в свою неприступную твердыню абстракции, так называемую чистую математику, все эти аналогии забываются; бесконечность становится чем-то совершенно таинственным, и тот способ, каким ею пользуются в анализе, начинает казаться чем-то совершенно непонятным, противоречащим всякому опыту и рассудку. Глупости и нелепости, которыми математики не столько объясняли, сколько извиняли этот свой метод, приводящий странным образом всегда к правильным результатам, превосходят худшие, реальные и мнимые, фантазии хотя

348 ПРИЛОЖЕНИЯ К «АНТИ-ДЮРИНГУ»

бы гегелевской натурфилософии, о нелепостях которой математики не могут наговориться досыта. Они сами делают теперь — но в несравненно большем масштабе — то, в чем они упрекают Гегеля, именно доводят абстракции до крайности. Они забывают, что вся так называемая чистая математика занимается абстракциями, что все ее величины, строго говоря, мнимые величины и что все абстракции, доведенные до крайности, превращаются в бессмыслицу или в свою противоположность. Математическая бесконечность заимствована из действительности, хотя и бессознательным образом, и поэтому она может быть объяснена только из действительности, а не из самой себя, не из математической абстракции. Но если мы станем исследовать действительность с этой стороны, то мы найдем, как мы видели, те реальные отношения, из которых заимствованы эти математические понятия о бесконечности, и даже естественные аналогии математической трактовки этих отношений. А этим и объясняется все дело. (Плохое изложение у Геккеля вопроса о тожестве мышления и бытия.) Но и противоречия между непрерывной и пре-рывной материей (Гегель).