Замечания.

1) Признак основан на сравнении рядов с несобственными интегралами.

2) Функцию , принимающую в точках значения , чаще всего удается построить с помощью замены натурального в выражении , чаще на непрерывно изменяющийся аргумент . Так, например, если , то ; если , то . Однако, не всегда таким путем можно получить функцию . Если, например , то в этом случае нельзя заменить на , так как символ при нецельных лишен смысла. Это не означает, что не существует функции , принимающей в точках значения . Напротив, она всегда существует, но ее аналитическое выражение не всегда просто найти.

3) Достоинство интегрального признака Коши состоит в том, что он четко проводит различие между все более медленно сходящимися рядами, даже если члены одного из них лишь незначительно отличаются от членов другого, что иллюстрируется приведенным ниже примером 17.

4) Интегральный признак Коши применим к рядам, в которых положительные члены монотонно убывают с увеличением их номера. Но даже и для таких функций может оказаться, что путь непосредственного вычисления интеграла при применении интегрального признака сходимости не всегда приемлем. Например, для ряда требуется вычислить интеграл , что затруднительно. К данному ряду очевидно применение первого признака сравнения: при мы имеем , а ряд сходится как геометрическая прогрессия со знаменателем .

Пример 17. Исследовать на сходимость ряд ().

Рассмотрим функцию . Эта функция на промежутке непрерывна, неотрицательна, монотонно убывает. Кроме того, для любого натурального

.

Следовательно, несобственный интеграл и ряд ведут себя одинаково относительно сходимости. Рассмотрим указанный несобственный интеграл. Имеем

.

Так как по условию , то . Но тогда при и .

Итак, получили, что несобственный интеграл при сходится. Следовательно, ряд () тоже сходится.

Пример 18. Исследуем сходимость ряда интегральным признаком Коши.

По формуле общего члена введем функцию . Она непрерывна и монотонно убывает на промежутке . Вычислим несобственный интеграл

.

Интеграл расходится, поэтому расходится и ряд.

При исследовании сходимости ряда с положительными членами иногда используется метод выделения главной части. Он применяется там, где удается получить с помощью формулы Тейлора асимптотическую формулу вид . В этом случае ряд сходится или расходится одновременно с обобщенным гармоническим рядом (см пример 17).

Пример 18. Исследовать на сходимость ряд .

Так как при , то

,

откуда . Следовательно, ряд сходится.

При оценке факториалов больших чисел и вычислении пределов, содержащих бывает полезна формул Стиглинга: , которая означает, что .

Пример 19. Исследовать сходимость ряда .

Применение признака Даламбера в данном случае затруднительно. Используем радикальный признак Коши и заменим по формуле Стирлинга на .

.

Ряд расходится.

§3. Некоторые применения теория числовых рядов

1. Исследование сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами основано на использовании интегрального признака Коши.

Пример 1. Исследовать на сходимость .

Функция непрерывна и положительна для . Составим ряд . Он сходится по признаку Даламбера, так как

.

Из сходимости ряда вытекает сходимость данного интеграла.

2. Достаточные признаки можно использовать для доказательства равенств вида .

Пример 2. Доказать, что . Обозначим , . Составим ряд . Исследуем его сходимость признаком Даламбера:

.

Так как ряд с общим членом сходится, то по необходимому признаку сходимости.