Описание экспериментальной установки. На рис. 31 схематически показана лабораторная установка, с помощью которой исследуются закономерности поступательного и вращательного движения тел

На рис. 31 схематически показана лабораторная установка, с помощью которой исследуются закономерности поступательного и вращательного движения тел, необходимые для вычисления момента инерции системы.

Маховик 1 насажен на вал 2, который закреплен в шарикоподшипниках 3, 4, что обеспечивает вращение системы вокруг горизонтальной оси. На этом валу закреплены два шкива большего 5 и меньшего 6 диаметров. Диаметры шкивов измеряются штангенциркулем. На ободе каждого шкива имеется штырь для крепления нити с грузом.

На один из шкивов наматывается невесомая и нерастяжимая нить, к свободному концу которой прикрепляется груз 7 массой m. Положение груза относительно пола, т. е. высота h, измеряется длинной линейкой с миллиметровыми делениями.

Измерение времени движения груза 7 до пола осуществляется секундомером.

Для вывода расчетной формулы момента инерции системы могут быть использованы динамический или энергетический подходы. В данном случае предлагается вывод, основанный на законе сохранения и превращения механической энергии.

Пусть груз массой m (рис. 31) находится в покое на высоте h над горизонтальной поверхностью (на высоте h от пола).

и .

Исключая из последних выражений ускорение a, выразим скорость груза v непосредственно перед ударом его о пол:

, (8)

где t - время движения груза с высоты h.

В отсутствие проскальзывания нити можно использовать известную связь между модулями линейной и угловой скоростей:

, (9)

где r - радиус шкива, на который намотана нить с грузом;

u - линейная скорость точек на ободе этого шкива.

Из (8) и (9) получаем выражение для угловой скорости^* (шкива, маховика, всей системы) в момент времени t касания груза массой m о пол:

. (10)

При расчете момента инерции системы необходимо учитывать влияние силы трения в подшипниках крепления вала.

В начальный момент система находится в покое, и груз массой m расположен на высоте h от пола. Следовательно, перед началом движения система обладает энергией, равной потенциальной энергии груза, т. е.

. (11)

Если систему предоставить самой себе, то груз массой m будет равноускоренно опускаться, а маховик со шкивами приходить во вращательное движение.

В момент касания грузом пола потенциальная энергия груза переходит в суммарную кинетическую энергию системы и в работу против силы трения в подшипниках:

, (12)

где - кинетическая энергия груза к моменту достижения пола;

- кинетическая энергия вращательного движения маховика со шкивами к моменту достижения пола грузом;

- работа силы трения за n₁ оборотов (число оборотов маховика от начала движения груза с высоты h до пола).

Уравнение (12) можно представить в виде:

. (13)

_____________

*Напомним, что любая точка твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, имеет одну и ту же угловую скорость.

**При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси с угловой скоростью w i - ая частица тела, отстоящая от оси вращения на расстояние r_i, обладает линейной скоростью
u_i = wr_i (см. формулу (9)). Значит, кинетическая энергия этой частицы равна:

Е_кi =mi× u_i²/2 = w²× m_i× r_i².

Суммируя последнее выражение, получим кинетическую энергию всего тела:

Е_к = å Е_кi = w²× å m_i× r_i²/2.

С учетом (1) получим формулу кинетической энергии твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси: Е_квр. = Iw²/2.

После падения груза на пол и соскальзывания нити со шкива маховик продолжает вращаться до полной остановки. Это означает, что кинетическая энергия вращающегося маховика полностью перешла в работу силы трения, т.е.

, . (14)

где - работа силы трения за n₂ оборотов, т. е. до полной остановки маховика.

Работа силы трения (13) и (14), как неконсервативной (или диссипативной) силы, как правило, отрицательна и в условиях данного эксперимента пропорциональна числу оборотов, совершенных маховиком на первом и втором этапах:

, , (15)

где k - положительный коэффициент, имеющий одно и то же значение в обоих случаях, и который можно представить с учетом (14) в следующем виде:

, . (16)

Тогда (15) с учетом (16) определяется следующим выражением:

. (17)

Уравнение (13) с учетом (17) принимает вид:

.

Преобразуя последнее равенство, получим с учетом (9) и (10) формулу расчета момента инерции системы:

,

которую можно упростить, учитывая, что > > 2h и радиус шкива .

Итак, расчетная формула момента инерции системы принимает окончательный вид:

, (18)

где d - диаметр шкива.