Резервирование с восстановлением

В предыдущем разделе были рассмотрены вопросы резервирования, при условии, что отказавшие элементы не восстанавливаются,

На практике, однако, часто прибегают к восстановлению отказавших элементов для увеличения срока службы системы и для повышения се надежности.

Для количественного описания таких процессов необходимы соответствующие математические модели и методы. Этой цели оказали хорошую услугу методы и приемы теории массового обслуживания. Однако необходимо указать, что полученные соотношения в общих случаях являются весьма сложными.

Поэтому, изучая резервные системы с восстановлением, обычно предполагают, что время жизни распределено по показательному закону. При этих условиях работа системы описывается однородным марковским процессом с конечным (иногда счетным) числом состоянии.

Чаще всего ограничиваются изучением процесса только в установившемся режиме, для упрощения получаемых уравнений.

Во многих задачах такого рода с успехом используется так называемый «процесс гибели и размножения», ранее применяемый в теории массового обслуживания, биологии, медицине и т. д. Получение точных соотношений для резервирования с восстановлением связано с определенными трудностями. Полученные соотношения являются громоздкими и неудобными для расчетов.

В связи с этим, а также учитывая, что подробное рассмотрение этого вопроса имеет большее значение для инженеров-эксплуатационников, чем для машиностроителей, ограничимся рассмотрением наиболее простых случаев.

а) Дублирование с восстановлением

Дублированием называется такой случай резервирования, когда резервная группа состоит из 2-х элементов: основного и резервного.

Для простоты эту группу мы будем называть парой.

В теории резервирования без восстановления этот случай не было особого смысла рассматривать отдельно.

При резервировании с восстановлением этот случай имеет смысл рассмотреть отдельно, как наиболее простой, решаемый при самых общих предположениях. Предположения:

1. Время жизни одного элемента подчинено показательному закону.

2. Время восстановления или ремонта распределено произвольно.

Рассмотрим общий случай облегченного резерва.

Пусть

l — интенсивность отказа рабочего элемента;

l₁ — то же, резервного элемента;

G(t) — закон распределения времени ремонта.

Очевидно, что при:

l = 0 —будет иметь место холодный резерв (ненагpyженный);

l = l₁ — будет иметь место горячий резерв (нагруженный).

Считаем, что оба элемента одинаковы, но в резервном состоянии интенсивность отказа меньше, чем в рабочем. Когда отказывает основной элемент, на его место мгновенно становится резервный, а после ремонта основной элемент становится в резерв.

Расстояние между соседними моментами восстановления мы назовем циклом. Очевидно, что все циклы восстановления независимы и одинаково распределены.

Отказ пары наступает тогда, когда на каком-нибудь цикле восстановления одного элемента откажет и другой элемент.

Обозначим через p(t) вероятность безотказной работы пары до момента i. Составим интегральное уравнение для вероятности р(t).

Событие, заключающееся в безотказной работе пары на интервале (о, t), распадается на следующие несовместимые события.

1. Первый отказ наступает после момента t. Вероятность этого события равна е^-(l+l₁^)t.

2. Первый отказ наступает до момента t, но первый цикл заканчивается после момента t. Резервный элемент, включившись в работу в момент отказа, работает безотказно до момента t. Вероятность этого события равна

3. Первый цикл заканчивается до момента t, во время первого восстановления элемент работает безотказно и на оставшемся до момента t участке времени пара работает безотказно. Вероятность такого события равна

где g(x) = G¹ (x).

Складывая эти 3 вероятности, получим искомую вероятность

(4.33)

Мы получим интегральное уравнение вида

где

Отсюда можно получить представление вероятности P(t) в виде ряда.

(4.34)

где

Если время t мало по сравнению с длительностью цикла, то этот ряд можно использовать для вычисления вероятности P(t), т.к. ряд быстро сходится. Если время t велико, то ряд практически бесполезен.

На практике как раз интересен тот случай, когда вероятность отказа пары на одном цикле, равная

мала и, следовательно, среднее время жизни пары во много раз более средней длительности цикла. Для этого случая среднее время жизни пары будет равно

(4.35)

Если бы не было восстановления элементов, то среднее время жизни пары равнялось бы

Отсюда выигрыш в среднем времени, который дает восстановление, равен

(4.36)

Чем меньше вероятность отказа пары на одном цикле, тем больше выигрыш.

В математической теории надежности доказывается следующее утверждение:

Если l и l₁ фиксированы, а

то

(4.37)

Отсюда следует, что при малом a вероятность безотказной работы пары в течение времени t выражается приближенной формулой

Можно использовать и другую приближенную формулу:

(4.39)

где Т₀ берется из формулы (4.35). Относительная погрешность формулы (4.38)» a, а формулы (4.39)» a². Недостаток формул (4.38), (4.39) заключается в том, что нужно знать величину a.

Рекомендуется при достаточно малом a и если

где t — случайное время ремонта, то

и может применяться формула

(4.40)

где Т₁ = Мt_рем.

Это означает, что асимптотически закон распределения времени жизни пары не зависит от закона распределения времени восстановления G(t), а зависит только от среднего времени восстановления Т₁.

Мы рассмотрели дублирование с восстановлением для случая, когда времена жизни рабочего и резервного распределены по показательному закону.

В ряде случаев это допущение неверно, и приходится рассматривать общий случай, когда времена распределены произвольно. Мы этот случай не рассматриваем ввиду сложности расчетных формул.

б) Параметры надежности резервных систем с восстановлением.

Данный вопрос рассматривается для наиболее простого случая — показательного закона распределения времени безотказной работы.

Рис. 4.2. Схема восстановления элементов

Процесс восстановления отказавших элементов можно представить следующим образом. Имеется техническая система (рис. 4.2), время безотказной работы которой распределено по показательному закону. Каждый отказавший элемент поступает в ремонтное устройство, где восстанавливается, а после восстановления вновь возвращается в систему и становится в резерв.

Предположим, что время ремонта распределено также по показательному закону.

В силу экспоненциальности всех законов, работа такой системы описывается марковским процессом с конечным числом состояний.

Число состояний системы в общем случае равно 2^N, где N — число элементов в системе.

Для описания работы системы необходимо знать в каждый момент множество неисправных элементов, а таких множеств 2^N.

Решение системы дифференциальных уравнений, а в стационарном случае — системы алгебраических уравнений сопряжено с большими трудностями вычислительного и алгебраического характера.

Рис. 4.3. Блок-схема технической системыс различными видами резерва

Однако для ряда реальных систем число состояний может быть существенно сокращено.

Если для каждого состояния системы суммарная интенсивность отказов и суммарная интенсивность восстановлении зависит не от множества неисправных в данный момент элементов, а только от их числа, то система описывается марковским процессом с числом состоянии, равным (N + 1).

Рассмотрим следующую конкретную систему (рис. 4.3). В системе имеется N одинаковых элементов.

N = n + m + l + s.

Время безотказной работы каждого элемента распределено по показательному закону, п элементов находятся в рабочем состоянии и имеют интенсивность (опасность) отказа, равную l.

т элементов находятся в нагруженном резерве, с той же интенсивностью отказа l..

l элементов составляют облегченный резерв и имеют интенсивность отказа n.

s элементов находятся в ненагруженном резерве и в этом состоянии не отказывает.

Каждый отказавший элемент мгновенно поступает в ремонтное устройство, которое состоит из r ремонтных единиц.

Каждая ремонтная единица может одновременно восстанавливать одну единицу (элемент).

Случайное время ремонта распределено по показательному закону с параметром m. Если все ремонтные единицы заняты, то отказавший элемент ставится в очередь.

Каждый отказавший из рабочей группы мгновенно заменяется элементом из нагруженного резерва, на место выбывшего из нагруженного резерва элемента становится элемент из облегченного резерва, а его место занимает элемент из ненагруженного резерва.

Каждый восстановленный элемент поступает в ненагруженный резерв.

Система работает исправно, если число исправных элементов не менее n.

Под состоянием системы мы понимаем число неисправных в данный момент элементов.

Работа такой системы описывается категориями процесса гибели и размножения теории массового обслуживания, причем параметры процесса l_л и m_к выражаются формулами

(4.41)

В формуле (4.41):

l_к — суммарная интенсивность потока отказов k-го элемента;

m_к — суммарная интенсивность потока восстановления k-го элемента.

Один нетипичный случай: число элементов в ненагруженном резерве неограниченно, s ® ¥. В этом случае не имеет смысла иметь нагруженный и облегченный резерв. Такая система имеет бесконечное число состояний с параметрами

(4.42)

Схема (рис. 4.3 ) включает в себя большое число частных случаев.

Отметим те случаи, которые чаще встречаются в практике надежности и вычислим для них финальные вероятности.

а) Система состоит из n элементов, из них (п—т) в рабочем состоянии и т внагруженном резерве. Число ремонтных единиц r³ n.

(4.43)

б) Система та же, но ремонтная единица одна: r = 1. Тогда:

(4.44)

в) В системе п рабочих элементов и неограниченный ненагруженный резерв, число ремонтных единиц также не ограничено.

(4.45)

г) Система как в. п. “в” но ремонтная единица одна: r = 1.

Для этого случая стационарное распределение существует при условии: nl < m.

В этом случае финальные

(4.46)

Надежность резервной группы с восстановлением в зависимости от ее структуры и характера выполняемых ею функций может оцениваться разными параметрами. Рассмотрим основные параметры такой системы для выше рассмотренного случая с параметрами (n, m, l, s, r, l, n, m).

Вероятность безотказной работы в течение времени t.

Система будет работать безотказно до момента t, если ни разу до этого момента число отказавших элементов не превысит N—n, т. е. v(t) £ N—n при t^’ < t. В начальный момент считаем все элементы исправны n(0) = 0. Вероятность безотказной работы системы равна

P(t) = 1 – P_N-n+1(t),

где Р_N-n+1 для ряда случаев можно вычислить по приближенной формуле

(4.47)

Что следует из формулы:

Рассмотрим конкретные примеры:

a) l_к = (n-k)l; m = km.

Для этого случая отказ системы наступает, когда число отказавших элементов становится равным (m + 1). Среднее время безотказной работы

Более простой вид формулы:

(4.48)

Частный случай: если т = п — 1 (имеется один рабочий элемент).

(4.49)

б) l_к = (n-k)l; m_к = m.

Отказ системы, как и в первом случае, наступает, когда система приходит в состояние (m + 1). Среднее время безотказной работы выражается формулой:

(4.50)