Скалярное произведение векторов

Важной нелинейной операцией над векторами является скалярное произведение векторов.

Определение 3. Скалярным произведением геометрических векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Это определение можно записать в виде формулы . Здесь - угол между векторами и , , - обозначения для скалярного произведения.

Справедливы следующие свойства скалярного произведения:

1)

2)

3)

4) , .

Свойства 1) и 4) прямо следуют из определения скалярного произведения. Для доказательства свойств 2) и 3) удобно воспользоваться понятием проекции вектора на вектор (или на направление, им порождаемое).

Определение 4. Проекцией вектора на вектор (или на направление, порождаемое вектором ) называется число, равное произведению длины вектора на косинус угла между вектором и направлением, порождаемым вектором .

Итак, по определению 4 справедлива формула . При этом для скалярного произведения справедлива формула .

Теорема 3. Проекция линейной комбинации векторов и на вектор равна линейной комбинации проекций векторов и на вектор .

Доказательство. Теорема 3 утверждает, что справедлива формула . Для доказательства достаточно заметить, что при умножении вектора на число его проекция умножается на это число, т. е. справедлива формула . Кроме того, несложно проверить, что проекция суммы векторов равна сумме их проекций, т. е. справедлива формула . Теорема доказана.

Для проверки свойств 2 и 3 скалярного произведения заметим, что:

,

.

_. Вычисление скалярного произведения
в декартовой системе координат