Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Алгебраические линии и поверхности
|
|
Пусть на плоскости задана некоторая аффинная система координат. Тогда любая точка плоскости задается парой 
действительных чисел.
Определение 1. Множество точек плоскости, координаты которых в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению
(1)
называется линией. Если уравнение (1) разрешимо относительно y, то оно переписывается
. (1’)
Иногда для описания линии используют векторную форму записи:
. (2)
Здесь параметр 
, 
- радиус-вектор точек на линии, при изменении t концы описывают некоторую линию.
Если на плоскости рассматривается декартова система координат, то каждый радиус-вектор может быть представлен 
. Тогда уравнение (2) в координатах принимает вид
(3)
- параметрическое уравнение линии.
Например, 
- уравнение окружности, а
- уравнение спирали (см. рис.).
Линию на плоскости иначе можно задать в полярной системе координат уравнением следующего вида:
,
где 
- длина , 
- полярный угол.
Например, 
- полярное уравнение линии.
Если перечисленные уравнения рассматривать парами, т.е.
или 
или 
или 
Тогда каждая система определяет множество точек, являющихся пересечением двух линий.
Аналогично, множество решений уравнения
, (5)
можно рассматривать как поверхность в трехмерном пространстве, где 
- координаты точки в заданной системе координат. Если (5) разрешимо относительно одной из переменных, то оно может быть, например, переписано в виде
. (5’)
Замечание. Если уравнение поверхности (5) не содержит одной из переменных, то соответствующая поверхность называется цилиндрической.
Прямые линии, из которых она состоит, называются её образующими, а линию, лежащую на поверхности и пересекающую все образующие, называют направляющей.
Пример. Образующие и направляющая для поверхности 
(параболический цилиндр) приведены на рисунке.
Если рассматривать систему
, (6)
состоящую из двух уравнений поверхностей, то система (6) в общем случае описывает кривую пересечения этих поверхностей.
Пример. Множество всех решений системы
представляет собой окружность радиуса 
, расположенную на высоте 1/2 от плоскости Oxy.
Любую кривую в пространстве можно также описать в виде
(7)
- векторное параметрическое уравнение линии.
Если 
, то уравнение (7) в координатах принимает вид
(8)
- координатное параметрическое уравнение линии в пространстве.
Определение 2. Алгебраической поверхностью называется множество точек, которые в какой-либо аффинной системе координат удовлетворяют уравнению:
(9)
где 
. Величина наибольшей из сумм 
называется порядком алгебраической поверхности.
Аналогичное определение вводится для алгебраической линии на плоскости.
Теорема 1. Алгебраическая поверхность порядка p в любой аффинной системе координат может быть задана уравнением вида (9) порядка p.
Доказательство. Пусть в некоторой аффинной системе координат поверхность задана уравнением (9). Тогда при переходе в другую аффинную систему координат переменные преобразуются по формулам:
(10)
где 
- матрица перехода к другому базису, а вектор 
- координаты преобразованного начала координат. Очевидно, что после подстановки (10) в (9) порядок уравнений не повышается.
Если бы после подстановки (10) в (9) порядок полученного уравнения повысился, то в силу обратимости (10) порядок поверхности мог бы возрасти, а это невозможно. Таким образом, при переходе к другой системе координат порядок поверхности не изменяется, ч.т.д.∎