Аффинные преобразования в пространстве

Аффинные преобразования на плоскости

Определение 6.1. Аффинные преобразования на плоскости - преобразования, обладающие следующими свойствами:

- любое аффинное преобразование может быть представлено как последовательность операций из числа простейших: сдвиг, растяжение/сжатие, поворот;

- сохраняются прямые линии, параллельность прямых, отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой, и отношение площадей фигур.

Общий вид аффинного преобразования на плоскости имеет вид:

,

где a, b, g, d, l, m - произвольные числа.

Основные матрицы двумерных аффинных преобразований:

Матрица вращения	Матрица переноса
Матрица масштабирования	Матрица отражения
	.

Аффинные преобразования в пространстве

Определение 6.2 Аффинные преобразования в пространстве - преобразования, обладающие следующими свойствами:

- любое аффинное преобразование может быть представлено как последовательность операций из числа простейших: сдвиг, растяжение/сжатие, поворот;

- сохраняются параллельность плоскостей, параллельность прямых, параллельность прямой и плоскости.

При замене тройки координат (x, y, z) на четверку (x, y, z, 1) возможно воспользоваться матричной записью в более сложных трехмерных задачах. Любое аффинное преобразование в трехмерном пространстве может по аналогии быть представлено в виде суперпозиции вращений, растяжений и переносов.

Соответственно, матрицы вращения, масштабирования и переноса в пространстве имеют вид:

, ,

, , .

При положительном угле j производится вращение против часовой стрелки.