Метод узловых напряжений

ЛЕКЦИЯ 9

МЕТОД УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

План лекции:

Метод узловых напряжений

9.2. Матричный метод расчёта электрических цепей

Метод узловых напряжений

Метод узловых напряжений или потенциалов рассмотрим применительно к принципиальной электрической схеме, содержащей узлов, ветвей, один генератор тока и два источника эдс (рис. 9.1).

Рис. 9.1. Обозначения на схеме по методу узловых потенциалов

Необходимо найти токи ветвей и напряжения на элементах.

Обозначим на схеме номера узлов и ветвей и выберем произвольно направления токов ветвей. Обозначим на схеме потенциалы узлов и примем один из узлов в качестве базового, например, узел 5.

Составим для первых четырёх узлов схемы уравнения по первому закону Кирхгофа, считая втекающие в узел токи отрицательными, а вытекающие – положительными:

Выразим токи ветвей по закону Ома через проводимости ветвей и разность потенциалов между концами ветвей. Введение проводимостей позволяет избавиться от дробей, что делает запись уравнений более простой и удобной. Кроме того, ветви с источниками эдс будет необходимо преобразовывать в ветви с генераторами тока.

Рассмотрим первую ветвь, которая содержит источник эдс, и преобразуем его в эквивалентный генератор тока (рис. 9.2). При преобразовании следует сохранить выбранное направление тока как через генератор тока, так и через сопротивление параллельной ветви, то есть в данном случае от узла к узлу .

Для первой ветви составим уравнение по первому закону Кирхгофа согласно указанному ранее правилу:

Выразим ток через два других тока, используя закон Ома и учитывая, что ток эквивалентного генератора тока , а внутреннее сопротивление генератора тока равно внутреннему сопротивлению источника эдс, т.е. . Поэтому получаем формулу

Рис. 9.2. Замещение первой ветви с источником эдс схемой с эквивалентным генератором тока

Для второй, третьей и четвёртой ветвей по закону Ома получаем уравнения

Пятая ветвь содержит источник эдс , который необходимо преобразовать в генератор тока (рис. 9.3).

Рис. 9.3. Замещение пятой ветви с источником эдс схемой с эквивалентным генератором тока

По первому закону Кирхгофа согласно указанному ранее правилу имеем выражение

По закону Ома с учётом того, что ток эквивалентного генератора тока , а внутреннее сопротивление генератора тока равно внутреннему сопротивлению источника эдс, т.е. , получаем формулу

Для остальных ветвей находим уравнения

Заменим токи в уравнениях (9.1) ÷ (9.4) через выражения (9.6) и после группировки членов получим

Добавим и вычтем в каждом из уравнений (9.8) ÷ (9.11) выражение, аналогичное слагаемому с положительным знаком, но имеющее множителем потенциал базового узла, и перегруппируем члены:

Так как напряжение по определению есть разность потенциалов , то получаем систему из уравнений с неизвестными узловыми напряжениями. Для простоты можно отбросить вторые индексы у напряжений, то есть обозначить понимая, что все узловые напряжения измеряют относительно базового узла. Поэтому уравнения (9.12) ÷ (9.15) можно преобразовать к виду

Сумму проводимостей ветвей, сходящихся в узле номера , обозначают символом и называют собственной проводимостью. Сумму проводимостей параллельных ветвей между узлами и называют общей проводимостью и обозначают . Если параллельной ветви нет, то общая проводимость равна проводимости ветви номера , расположенной между этими узлами. Например, для схемы рис. 9.1 будут выполнены соотношения:

С учётом этого запишем систему уравнений (9.16) ÷ (9.19) в более компактной форме:

Слагаемые с собственными проводимостями входят в уравнения со знаком плюс, а с общими проводимостями – со знаком минус.

Правые части уравнений представляют собой алгебраическую сумму токов генераторов тока, расположенных в ветвях, примыкающих к данному узлу. Источники эдс при этом оказываются преобразованными в эквивалентные генераторы тока. Токи входят со знаком минус, если они втекают в рассматриваемый узел, и со знаком плюс, если вытекают.

Решая систему уравнений, находят узловые напряжения и вычисляют токи ветвей.

Таким образом, алгоритм метода узловых напряжений сводится к следующему:

1) выбирают в заданной схеме базовый узел и нумеруют остальные узлы,

2) для всех узлов, кроме базового, составляют уравнения по правилу:

– в левые части каждого уравнения включают слагаемые вида и . При этом уравнения будут содержать столько слагаемых, сколько смежных узлов имеет рассматриваемый, слагаемые вида с собственными проводимостями будут иметь знаки плюс, а слагаемые с общими проводимостями – знаки минус,

– в правые части каждого уравнения включают слагаемые вида и . Токи вида имеют положительный знак, если они втекают в рассматриваемый узел номера , и отрицательный, если вытекают. Слагаемые вида имеют положительный знак, если с рассматриваемым узлом соединён положительный вывод источника эдс , и отрицательный, если соединён отрицательный,

3) решают систему уравнений и находят узловые напряжения,

4) рассчитывают токи ветвей и напряжения на пассивных элементах ветвей, используя закон Ома.

Метод узловых напряжений целесообразно применять, если число уравнений , составляемых по первому закону Кирхгофа, меньше числа уравнений записываемых по второму закону, то есть, когда выполняется условие .

9.2. Матричный метод расчёта электрических цепей

Количественные и качественные усложнения электрических схем постоянно требовали разработки новых методов решения систем уравнений. Поэтому в связи с развитием ЭВМ широкое применение в настоящее время нашли цифровые методы расчёта. Вначале были внедрены матричные методы, а в 60-е годы прошлого столетия – принципиально новые топологические методы, хотя основы топологического подхода были предложены ещё Кирхгофом в 1837 году.

Методы матричной алгебры позволяют получать решение линейных задач теории цепей в компактной форме. Матричные обозначения дают возможность формулировать задачу единым методом с определённой последовательностью операций для арифметического расчёта.

Матричная запись уравнений электрической цепи позволяет:

1) систематизировать и упростить процесс составления уравнений,

2) составлять уравнения электрической цепи автоматически с помощью ЭВМ, что ускоряет процесс и избавляет от ручного труда,

3) применять формальный способ получения уравнений к цепям любой сложной структуры.

Режим электрической цепи произвольной конфигурации полностью определяется законом Ома и первым и вторым законами Кирхгофа. Для записи этих законов в матричной форме необходимо составить топологические матрицы схемы, к которым относят матрицы соединений (матрицы инциденций), сечений и контуров.

Топологический метод, тесно связанный с матричным, позволяет достичь очень большой экономии времени как при составлении уравнений, так и при расчётах. Это обусловлено получением решения непосредственно из математической формулировки задачи. Использование теории графов делает метод наглядным, что облегчает понимание принципа составления системы уравнений.