Теоретическое обоснование

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №16

ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

Цель работы: экспериментально проверить выполнимость закона Стефана-Больцмана и определить значения постоянных Стефана-Больцмана и Планка.

Приборы и принадлежности: оптический пирометр с исчезающей нитью; нихромовая проволока; амперметр; вольтметр; реостат; автотрансформатор.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ

Излучение электромагнитных волн атомами вещества обусловлено колебаниями заряжённых частиц около положений равновесия. При излучении теряется электромагнитная энергия. Поэтому излучение тел может происходить либо за счёт убыли энергии самого тела, либо за счёт энергии извне.

Тело можно заставить светиться, сообщив ему энергию нагреванием. Этот вид свечения наиболее распространён и получил название теплового излучения.

Если тело путём поглощения получает от окружающих тел такое количество энергии, которое компенсирует убыль его энергии на излучение, то говорят, что тело находится в равновесном состоянии. Обычно равновесное состояние называют ещё и температурным.

Для характеристики теплового излучения вводят ряд определений. Мощность испускания с единицы площади поверхности тела в единичном интервале частот называется излучательной способностью тела. Если обозначить мощность излучения в интервале частот v до v+ Δ v через dW_{v, v+ Δ v} ,, то излучательная способность может быть записана в виде:

(16.1)

Часто излучательную способность называют спектральной плотностью, так как она зависит от частоты v.

Способность тела к поглощению характеризуется поглощательной способностью тела. Под поглощательной способностью тела понимают отношение количества поглощённой поверхностью энергии за единицу времени в интервале частот ν, ν + Δ ν к общему количеству падающего излучения в том же интервале частот:

(16.2)

Тела, полностью поглощающие все падающее на них излучение произвольной длины волны при любой температуре, называют абсолютно чёрными. Для них A(v, T)=1 для всех частот и температур. Реальные тела не являются абсолютно чёрными.

Для установления связи между излучательной и поглощательной способностями тела Прево в 1809 г. сформулировал правило: если два тела при одной и той же температуре поглощают разные количества энергии, то и излучение должно быть различным.

Количественная связь между излучательной и поглощательной способностями тела была установлена в 1859 г. Кирхгофом. Согласно закону Кирхгофа отношение излучательной и поглощательной способностей тела не зависит от природы тела и есть универсальная для всех тел функция частоты и абсолютной температуры

(16.3)

Обозначим для абсолютно чёрного тела лучеиспускательную способность , а поглощательную – a(v, T), тогда закон Кирхгофа запишется в виде:

(16.4)

Отсюда видно, что универсальная функция Кирхгофа есть ни что иное, как излучательная способность абсолютно чёрного тела.

Чтобы определить, в какой области спектра излучает тело, необходимо знать вид функции . Многочисленные попытки установить вид функции – привели к открытию ряда частных законов излучения абсолютно чёрного тела.

Первый закон был установлен Стефаном и уточнён в 1884 г. Больцманом. Пользуясь термодинамическим методом, Больцман доказал, что интегральная излучательная способность абсолютно чёрного тела пропорциональна четвёртой степени его абсолютной температуры, т.е.

, (16.5)

где σ – постоянная Стефана-Больцмана.

Закон Стефана-Больцмана касается лишь интенсивности интегрального излучения чёрного тела и ничего не говорит относительно спектрального распределения энергии.

Второй закон, дающий частотную зависимость функции , установлен Вином и имеет вид:

(16.6)

Выражение (16.6) получило название обобщённого закона Вина. От частоты можно перейти к длине волны:

(16.7)

Так как , то

(16.8)

Подставляя (16.8) в (16.6), получим:

Приравняв нулю производную получаем, что положение максимума λ _max удовлетворяет условию:

Tλ _max=b (16.9)

где b – постоянная, не зависящая от температуры.

В форме записи (16.9) закон Вина носит название закона смещения Вина. Он показывает, что положение максимума функции по мере возрастания температуры смещается в область коротких волн. Графически это представлено на рис. 16.1.

Рис. 16.1.

Из закона Вина следует, что максимальная излучательная способность прямо пропорциональна пятой степени абсолютной температуры:

(16.10)

Для установления характера излучения абсолютно чёрного тела необходимо знать вид функции . Частные законы (Больцмана, Вина) не помогли дать общего решения поставленной задачи. Наиболее приемлемый вид функции был найден Релеем и уточнён Джинсом.

В обобщенном виде соотношение получило название формулы Релея-Джинса:

, (16.11)

где k – постоянная Больцмана.

Однако в области больших частот кривая, полученная по формуле (16.11), сильно отличается от экспериментальной кривой, а интегральная излучательнпая способность обращается в бесконечность (рис. 16.2). Это несоответствие получило название " ультрафиолетовой катастрофы":

Рис. 16.2.

Это означает, что равновесие между телом и его излучением установится только при температуре тела, равной абсолютному нулю.

Причина вышеуказанных трудностей связана с одним из основных положений классической физики, согласно которому энергия системы может изменяться непрерывно.

В 1900г., выдвинув новую теорию, согласно которой осциллятор излучает и поглощает свет дискретно, то есть отдельными порциями (квантами) с энергией , Планку удалось установить вид функции , хорошо согласующийся с экспериментом:

(16.12)

Эта формула получила название формулы Планка. Из формулы Планка следуют все частные законы теплового излучения абсолютно чёрного тела.

Проинтегрируем выражение (16.12) от 0 до ∞ по v, обозначим через , тогда . Отсюда .

С учётом обозначений:

,

где

,

т.е. получили закон Стефана-Больцмана. Постоянная Планка отсюда:

(16.13)

В области малых частот при условии hv< < kT, разлагая в ряд и ограничиваясь первым членом, получим:

.

Тогда формула Планка (16.12) переходит в формулу Релея-Джинса:

Также можно показать, что из формулы Планка следуют законы Вина. Для этого необходимо, взяв производную от

по λ, приравнять её нулю. Результатом будет закон Вина.

Температура абсолютно чёрного тела может быть определена по характеру его излучения на основании одного из рассмотренных выше законов излучения. Методы определения температур, основанные на использовании этих законов, носят название оптической пирометрии. Приборы, используемые для этой цели, называются пирометрами излучения.

Измерив интегральную излучательную способность абсолютно чёрного тела , по известной σ на основании закона Стефана-Больцмана можно определить истинную термодинамическую температуру Т. Как известно, нечёрные тела не подчиняются закону Стефана-Больцмана. Тем не менее, на практике при измерении интегральной излучательной способности Е_T нечёрного тела пользуются этим законом. Определённая таким образом температура нечёрного тела называется радиационной.

Таким образом, радиационной температурой Т_рад данного тела называют температуру такого чёрного тела, суммарное излучение которого совпадает с излучением исследуемого тела.

Зависимость радиационной температуры от истинной можно получить, используя закон Кирхгофа (16.4). Проинтегрировав

Е(v, Т)= А(v, Т) от 0 до ∞ по частоте v:

получаем, что

(16.14)

где a_T – степень черноты тела при температуре Т.

По закону Стефана- Больцмана с учётом формулы (16.14) получаем

где Т - истинная температура.

Преобразовав выражение, получаем:

. (16.15)

Так как a_T ≤ 1, то T_рад ≤ Т.

Пирометры, регистрирующие радиационную температуру, называют радиационными пирометрами.

Температура, в основе определения которой лежит закон смещения Вина, называют цветовой температурой.

Для ее определения нужно знать длину волны, на которую приходится максимум лучеиспускательной способности. Если кривая распределения яркости по длинам волн для наблюдаемого тела не слишком отличается от планковской кривой, то цветовая температура Т_цв указывает ту температуру абсолютно чёрного тела, при которой его излучение наиболее близко по цвету к излучению наблюдаемого тела.

Под яркостной температурой понимают такую температуру абсолютно черного тела, при которой его излучательная способность для определенной длины волны l₀ равна излучательной способности рассматриваемого тела, т.е.

(16.16)

где Т - истинная температура тела.

Яркостную температуру можно определить с помощью пирометра с исчезающей нитью, в котором яркость нити пирометра уравнивается с яркостью исследуемого раскаленного тела.

Так как мощность излучения реального тела при ка­кой-то температуре всегда меньше мощности излучения аб­солютно черного тела при той же температуре, то, оценивая температуру по монохроматической яркости, нельзя опреде­лить действительную температуру реального физического тела. Вместо нее всегда определится относительно меньшая, так называемая яркостная температура, до которой надо на­греть абсолютно черное тело для того, чтобы его монохро­матическая яркость была равна соответствующей фактичес­кой яркости реального физического тела.

От яркостной можно перейти расчетным путем к действительной температуре, если известно отноше­ние монохроматических яркостей данного реального физи­ческого тела и абсолютно черного тела для выбранного цве­та излучения и нужного интервала температуры, т. е. если известен коэффициент монохроматической излучательной способности.

Истинную температуру тела находят по специальным таблицам и коэффициентам для материала излучающих тел (см. табл 4, 5).

Согласно закону Стефана-Больцмана

,

где – интегральная излучательная способность абсолютно черного тела, Т – абсолютная температура по шкале Кельвина, σ – постоянная Стефана-Больцмана.

Если излучение происходит в среде, имеющей температуру Т₀, то отдача телом тепла в единицу времени равна:

(16.17)

где S – площадь излучающей поверхности.

Одним из способов поддержания излучающего тела в раскаленном состоянии является пропускание электрического тока. При этом расходуемая мощность определяется напряжением U и силой тока І

P=IU (16.18)

На основании закона сохранения энергии, приравняем (16.17) и (16.18):

P = UI=σ S(T ⁴–T ⁴₀) (16.19)

Так как излучение нихромовой нити отличается от излучения абсолютно черного тела, то в выражении вводится поправка в виде коэффициента а, соответствующая так называемому " серому" телу. Из соотношения (16.19) находим постоянную Стефана-Больцмана, используя измеренную яркостную температуру:

, (16.20)

где S = π dl – площадь поверхности нихромовой проволоки.

Пренебрегая для сильно нагретого тела, температурой окружающей среды, можно определить зависимость расходуемой мощности от температуры тела следующим образом. По определению – суммарная энергия, излучаемая с единичной площади в единицу времени: .

Применим закон Стефана-Больцмана: .

Приравняв последние два выражения, имеем:

Отсюда расходуемая мощность .

Прологарифмировав, получим следующее выражение:

(16.21)

где Р = IU – потребляемая мощность; Т_я – яркостная температура;
σ ' = σ S.

Из (16.21) следует, что зависимость логарифмов измеренных величин –– линейная.