Десятичные дроби.

п.4.1 Определение десятичной дроби, свойства десятичных дробей.

п.4.2 Преобразование обыкновенных дробей в десятичные.

п.4.3 Действия над десятичными дробями.

п.4.4 Бесконечные периодические дроби и их преобразование в обыкновенные.

4.1 Определение десятичной дроби, свойства десятичных дробей.

Распространим запись натуральных чисел в 10-чной позиционной системе на рациональные числа.

Вспомним, что каждое натуральное число n единственным образом представляется в виде суммы различных неотрицательных степеней числа 10, умноженных на некоторые коэффициенты a_i, т.е.

(1) n=a_k*10^k+a_k-1*10^k-1+…+a₁*10+a₀, где n€N, 0 ≤ а_i ≤ 10-1или иначе.

Вся суть позиционной системы обусловлена записью: m=a_k a_k-1…a₁a₀ при которой удобны алгоритмы арифметических действий над натуральными числами.

По аналогии с записью (1) составим сумму:

(2) r= a_k*10^k + a_k-1*10^k-1+…+a₁*10+a₀ + + +…+ где, 0≤ a_i, b_i≤ 9, ( цифры )

Очевидно, что число r как сумма натуральных чисел и рациональных или обыкновенных дробей является рациональным числом.

По аналогии с короткой записью натуральных чисел число r можно представить короткой записью: (3) r=a_k a_r-1 …a₁a₀, b₁b₂…b_s, где запятойотделена целая часть от дробной.

Действительно, если в записи (2) привести слагаемые к общему знаменателю, получим

r =

Таким образом, иначе число r можно представить в виде равенства (4),

r= = n N₀, s N.

Поскольку в числителе складываются степени 10 от до 10⁰, то числитель выражается в обычной десятичной системе счисления.

Таким образом (4) равенство представлено рациональным числом, которое иначе можно записать как r = n N₀, s N. r – неотрицательное рациональное число.

Очевидно, что аналогичным образом можно представить и отрицательное рациональное число такого же вида:

(5) r=-a_k a_r-1 …a₁a₀, b₁b₂…b_s = , т.о. рациональное число может быть представлено в виде обыкновенной дроби: r = , m Z, s N.

Определение: Конечной десятичной дробью называется обыкновенная

десятичная дробь со знаменателем, равным степени 10, т.е.

, m Z, s N. Обычно используют короткую запись (3) или (5).

Например: = =3*10+5+ + =35, 71

Определение: Цифры стоящие после запятой в десятичной дроби называются десятичными знаками, их количество равно показателю степени 10.

Рассмотрим несколько свойств десятичных дробей, которые вытекают из их определения:

1⁰. Из 2-х рядом стоящих цифр в записи десятичной дроби левая цифра имеет разрядную единицу в 10 раз большую, чем правая (r=…a₁*10+a₀*10⁰…)

2⁰. Умножение десятичной дроби на 10ⁿ достигается переносом запятой на n цифр вправо, а деление влево.

Справедливость этого свойства можно определить сравнением равенств (3) и (4). Умножим число r*10ⁿ 4… (количество десятичных знаков уменьшается на n, а это значит, что (3) мы должны перенести запятую на n знаков вправо).

r= = Этого же можно достичь (3) переносом запятой на n знаков.

3⁰. Приписывание нулей в десятичной дроби и отбрасывание нулей стоящих в конце десятичной дроби, не изменяя ее значения.

Действительно, если в равенстве (3) приписывать в конце нули, то это равносильно прибавлению к сумме 2 слагаемых вида + , которые не меняют значения суммы 2 следовательно и не меняется и дробь (3).

Аналогично обратное, если b_s=0, то равенство (2) заканчивается слагаемым , которое не влияет на значение суммы 2. Значит в равенстве (3) ноль можно отбросить и значение не изменится.

4⁰. Для приведения 2-х десятичных дробей к одинаковому знаменателю достаточно приписывать к той десятичной дроби, у которой меньше десятичных знаков, столько нулей, чтобы количество десятичных знаков в дробях было одинаково.

Действительно, каждый приписываемый нуль увеличивает знаменатель дроби в 10 раз, но не изменяет значение этой дроби.

Поскольку все десятичные дроби можно считать приведенными к общему знаменателю, то их легко сравнить по знаменателю. Из двух дробей с равными знаменателями больше та, у которой больше числитель.

5⁰. Из 2-х положительных десятичных дробей больше та, у которой больше целая часть; если целые части равны, то больше та у которой больше 1-ый из неравных десятичных знаков. (3, 345< 3, 354)

Можем привести к общему знаменателю по предыдущему свойству, то сравнение десятичных дробей сводится к сравнению целых чисел стоящих в числителе(4) (т.е. сравнение обыкновенной дроби).

По аналогии с целыми числами любая положительная десятичная дробь больше отрицательной. Из отрицательной больше, та модуль, которой меньше.(-1, 247> -2, 427).

п.2 Преобразование десятичных дробей в десятичные.

Мы знаем, что любое натуральное число можно представить в виде десятичной записи (1). Будет ли это утверждение верно для десятичной записи (2) любого рационального числа?

Пусть =0, 32,

Теорема: Для того, чтобы несократимую дробь можно было представить конечной десятичной дробью, необходимо и достаточно чтобы в разложении ее знаменателя на простые множители входили только простые числа 2 и 5.

Доказательство:

Достаточность. Пусть n=2^r*5^s. Предположим, что r≥ s и представим дробь: умножим знаменатель дроби на 5^r-s. = = =

т.е. дробь в этом случае конечная десятичная дробь. ЧТД

Если r< s, то достаточно числитель и знаменатель дроби умножить на 2^s-r

Необходимость. Пусть несократимая дробь представляется в виде конечной десятичной дроби: (*) = .

Докажем, что в разложении знаменателя n имеются только на простые множители: 2 и 5. Предположим противное, что в разложении n имеется простой множитель p n⁞ p, p=2, 5.

Запишем равенство = , т.о. m*10^r=a*n, по нашему предположению n⁞ p, тогда произведение (a*n)⁞ p, тогда, на p делится (m*10^r) ⁞ p, но 10^r≠ p т.к. (p≠ 2, 5) значит m⁞ p( свойство делимости произведения) - сократима, что противоречит условию теоремы. ЧТД.

Пример: = = ; =0, 75.

п.3 Действия над десятичными дробями.

Сравнение десятичных дробей и выполнение арифметических действий с ними сводится по существу к сравнениям и действиям над ЦЧ. Действительно чтобы сложить две десятичные дроби, согласно правилу сложения рациональных чисел, достаточно привести к общему знаменателю и сложить числители.

Пример: + = 7, 8628.

Если использовать свойства десятичных дробей, то можно было эти дроби сложить столбиком (приписывание нулей)

7, 8300

⁺ 0, 0328

7, 8328

В общем виде правило сложения (вычитания) десятичной дроби моет быть сформулировано следующим образом:

Чтобы сложить (вычесть) 2 десятичные дроби нужно:

1) Уровнять в этих десятичных дробях количество десятичных знаков после запятой;

2) Не принимая во внимание запятую, сложить (вычесть) получившиеся числа;

3) В результате отделить столько знаков, сколько отделено в каждой из десятичных дробей.

Замечание: При выполнении действий столбиком нули в конце десятичной дроби не записывают, при уравнении десятичных знаков достаточно записать дроби столбиком так чтобы единицы одного разряда находились в одном столбике, т.е. запятая числа стояла под запятой.

Правило 2 (сравнения)

Чтобы сравнить две десятичные дроби надо уровнять в них количество десятичных знаков после запятой, отбросить запятую и сравнить получившиеся целые числа.

Пример: 3, 62517 3, 623, т.к. 362517 362300

Для того чтобы уяснить алгоритм умножения десятичной дроби, запишем дроби в виде обыкновенных, в общем случае они имеют вид

, m, n € Z, k, s € N тогда

Перемножим 2 обыкновенные дроби по правилу:

= , таком образом при умножение десятичной дроби в целом числе следует отделить запятой десятичных знаков.

Правило 3. Чтобы перемножить две десятичные дроби, следует перемножить их как целые числа (не принимая во внимание запятые) и в произведение отделить запятой количество десятичных знаков, равное сумме десятичных знаков в сомножителях

Например: 60, 003

2, 1

60 003

120 006

126, 0063

Поскольку умножение десятичных дробей, является частичным случаем умножения обыкновенных десятичных дробей, то для десятинных дробей умножение ассоциативно и коммуникативно и дистрибутивно относительно сложения и вычитания. (записать формулы)

Рассмотрим деление десятинных дробей. Множество десятичных дробей замкнуто относительно деления. Запишем две десятичные дроби в виде обыкновенных, уже приведенных к общему знаменателю, тогда

(*)

Если дробь , после сокращения, будет иметь знаменатель, делящийся хотя бы на одно простое число, отличное от 2 и 5, что по Т₁ (п.4.2) она не представима в виде конечной десятичной дроби.

Т.О. множество конечных десятичных дробей не замкнуто относительно деления.

Предположим, что в нашем редком случае (т.к. простых чисел бесконечно много) результатом деления (*) представим в виде десятичной дроби, т.е. - деление целых чисел.

Последнее равенство описывает в общих чертах правило деления десятичных дробей:

1. В делители запятую надо перенести в конец числа (сделать делитель целым);

2. При этом в делимом надо перенести запятую на такое же количество десятичных знаков;

3. Осуществить деление уголком, при этом запятая в частном предоставляется в момент исчерпания целой части делимого.

Пример: 1). 24, 252: 14, 1=1, 72

24, 252 14, 1

141 172

987 При этом в делимом приписывают нули столько

282 раз, пока деление не закончится (10ⁿ)

282 5, 2: 0, 5=10, 4

2). 1, 21: 0, 33=121: 33= - частное не может быть выражено десятичной дробью (конечной).

п.4.4 Бесконечные периодические дроби и их преобразование в обыкновенные.

Рассмотрим дробь , ее нельзя представить конечной десятичной дробью (почему?) Однако, поделив 2 на 9 будем иметь 0, 2

0, 22 < < 0, 23 т.д.

А кратко записывают бесконечная десятичная дробь.

Если отбросить все цифры, начиная с некоторой, то получим число < , а если увеличить последнюю цифру на 1, то .

Определение 3: Бесконечный ряд чисел вида a₀, b₁b₂…b_n…, где a₀ целое число, а каждое из b_i (i=1, 2…) принимает одно из значений 0, 1…9 называется бесконечной десятичной дробью.

Бесконечной десятичной дробью называется периодической, если содержит в своей записи после запятой повторяющуюся группу цифр, называемую периодом.

=0, (2)

Период принято записывать в скобках. Количество цифр в периоде называется его длиной. Всякую конечную десятичную дробь можно рассматривать как бесконечную периодическую: 0, 15=0, 1500…=0, 15(0).

Теорема 2. Любое рациональное число представимо бесконечной периодической десятичной дробью.

Доказательство: Пусть рациональное число r представлено дробью m € Z, n € N, (m, n=1).

Если n= * то теорема доказана в силу теоремы 1.

Если знаменатель n содержит в разложении простой множитель, отличный о 2 и 5, то процесс деления m на n закончится не может, поскольку в противном случае получится конечная десятичная дробь и противоречие теореме 1. Таким образом, в этом случае десятичная запись рационального числа r = представляется бесконечной десятичной дробью.

Покажем, что это дробь будет периодической. Для определенности будем считать, что n> m> 0. Умножим m на 10 и разделим на n, применяя теорему о делимости с остатком )

10*m= n*q₁+r₁, 0< r₁< n/

Очевидно, что q₁ – цифра. В противном случае, при q₁ 10 будем иметь 10m 10n+r₁ или 10(m-n) r₁ , но m-n< 0, а r₁> 0 получим противоречие.

Далее разделим 10r₁ на n, получим 10r₁=n*q₂+r_2, 0< r₂< n, 0 .

И т.д. получим бесконечную последовательность равенств:

10m=n*q₁+r₁ где все 0< r₁< n, а 0 . т.е. десятичные

10r₁=n*q₂+r₂ знаки, возникающие при записи числа

10r₂=n*q₃+r₃ (6) десятичной дробью 0, q₁q₂q₃ …q_k q_{k+1 …} (7)

…………………

10r_k-1=n*q_k+r_k

10r_k=n*q_k+1+r_k+1

В равенстве (6) остатки r_i начиная с некоторого шага начнут повторяться, поскольку неравенству 0< r_i< n удовлетворяет n-1 натуральных чисел: 1, 2, 3…n-1, а процесс получения остатков бесконечен.

Но равенство r_i=r_k повлечет последующие равенства q_i+1=q_k+1 и r_i+1=r_k+1 и т.д. Это означает, что как только в равенствах(6) два остатка совпали, то частные начинают повторяться, остатки тоже повторяются, а бесконечная десятичная дробь(7) является периодической. Теорема доказана.

Пример: Записать числа =0, 0(185)

100 54

54 0, 01851…

…

Определение: Бесконечная периодическая десятичная дробь называется частной периодической, если период начинается сразу после запятой. В противном случае дробь называется смешанной. 0, (27) 2, 32(27)

Можно доказать, что если знаменатель не сократимой дроби взаимно прост с 10 (т.е. в разложение n не входит 2 и 5), то дробь бращается в чисто периодическую дробь.

Например: =(0, 12) 33=3*11

40 33

33 0, 121…

Если у несократимой дроби знаменатель n= , где (d, 10)=1, то при обращение дроби в десятичную, получается смешанная периодическая бесконечная дробь с количеством цифр между запятой и периодом (предпериодом) равным max .

Например: =0, 08(63) 220=2²*5*11

1900 220

1760 0, 086363…

Справедливо обратная теорема

Теорема. Любая бесконечная периодическая дробь, не имеющая 9 периодом, выражает некоторое рациональное число.

Рассмотрим процесс преобразования периодических дробей в обыкновенные. Первоначально преобразуем в обыкновенную чистую периодическую дробь.

Пусть r=0, q₁q₂…q_n…( 8) Обозначим натуральное число q₁q₂…q_n=a Умножим равенство (8) на 10ⁿ, получим

10ⁿ*r=0, (q₁q₂…q_n)*10ⁿ;

10ⁿ*r=a+0, (q₁q₂…q_n)=a+r

Откуда r(10ⁿ -1)=a, следовательно r= (9).

Очевидно 10ⁿ-1 –число, записываемое с помощью n девяток. ММИ докажем.

Можем сформулировать правило 1.

Чтобы преобразовать в обыкновенную чистую периодическую дробь, следует в числителе записать число, образованное цифрами периода, а в знаменатель записать число, образованное девятками, количество которых равно длине периода.

Замечание: мы рассмотрели дробь с нулевой целой частью, т.к. a₀, b₁b_2…b_n…= a₀+0, b₁b_2…b_n… Если 0, b₁b_2…b_n…= , то a₀, b₁b_2…b_n…= a₀+

Пример: 1)0, 1212…= 0, (12) = =

2)0, 031031…=0, (031)=

Пусть теперь (10) r=0, q₁q₂…q_n(q_1+nq_2+n…q_n+k) смешанная периодическая дробь с предпериодом из n цифр и периодом из k цифр. Обозначим:

a=q_1+nq_2+n…q_n+k , b=q₁q₂…q_n

Умножим равенство (10) на 10ⁿ, получим 10ⁿ*r= b+0, (q_1+nq_2+n…q_n+k)

Полученное равенство умножим на 10^h

10^h*10ⁿ*r=b*10^k+a+0, (q_n+1…q_n+k) или по(9) 10^n+k*r=b+10^k+a+

или 10^n+k*r=b+10^k+ , т.е. 10^n+k*r=b+10^k+ .

Откуда: r= + или

r=

Таким образом, получим следующее правило 2:

Чтобы преобразовать в обыкновенную смешанную периодическую дробь, следует в числителе записать разность между числом, образованным цифрами, стоящими до второго периода, и числом, образованным предпериодом. В знаменателе надо записать число, образованное таким количеством девяток, сколько цифр в периоде, и таким количеством нулей, сколько цифр в предпериоде.

Пример: 0, 02(34)= = =

0, 1(03)= =