Перпендикулярность прямой и плоскости

Метрические задачи

Метрическими называются задачи на определение натуральных величин элементов фигур (длину отрезка, величину угла, расстояние между точками и прямыми, площади, объемы и т. д.

Решение многих метрических задач требует построения перпендикулярных прямых и плоскостей и основывается на свойствах ортогонального проецирования.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Известно, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.

В качестве двух пересекающихся прямых на заданной плоскости удобно выбирать линии уровня – фронталь и горизонталь.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости можно сформулировать в виде теоремы.

Теорема. Для того чтобы прямая l была перпендикулярна плоскости S, необходимо и достаточно, чтобы горизонтальная проекция прямой была перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали (l₁ h₁), a фронтальная проекция прямой перпендикулярна фронтальной проекции фронтали (l₂ f₂) плоскости S.

Задача: Построить проекции перпендикуляра l, опущенного из точки D (D₁, D₂) на плоскость ∑ (A, B, С) (рисунок 2.47).

Решение: h и ƒ S l ₁ h ₁, l ₂ ƒ ₂.

Прямая l в этом случае перпендикулярна плоскости S, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости (h f), таким образом, l ₁ h ₁ и l ₂ ƒ ₂ l S.

Задача: Построить плоскость Θ, проходящую через точку С (С₁, С₂) и перпендикулярную прямой l (l₁, l₂) общего положения (рисунок 2.45).

Алгоритм построения:

1 f₂ l₂, f₂ C₂.

2 ƒ ₁ C₁C₂, ƒ ₁ C₁

3 h₂ C₁C₂, h₂ C₂

4 4 .h₁ l _1, h ₁ C_I.

5 Θ (h Ç f).

Отметим, что прямая l скрещивается с прямыми h и f. С помощью приведенных алгоритмов построения перпендикуляра к плоскости решается задача на построение ортогональной проекции любой фигуры на плоскость общего положения.

Рисунок 2.46	Рисунок 2.47

Расстояние от точки до прямой определяется длиной отрезка перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Если прямая является линией уровня, то задача решается просто. Например, для определения расстояния от точки А(А₁, А₂) до прямой h(h₁, h₂) (рисунок 2.48) опускается перпендикуляр из точки А₁ на горизонталь h₁, а длина перпендикуляра (АВ) определяется по способу прямоугольного треугольника.

Определить расстояние от точки A (A₁, A₂) до прямой BC (B₁C₁, В₁C₂) общего положения (рисунок 2.49).

1 Через заданную точку А(А₁, А₂) проводится плоскость Г(hÇ ƒ), перпендикулярная заданной прямой BC(B₁C₁, В₂С₂), для этого строят линии уровня h и ƒ, перпендикулярные заданной прямой: h₁ В₁С₁ и ƒ ₂ В₂С₂.

2 Строится точка К(К₁, К₂) пересечения прямой ВС с плоскостью Г(hÇ ƒ).

3 Расстояние АК от точки A (A₁, A₂) до прямой BC (B₁C₁, В₂С₂) равно длине отрезка AК (A₁К₁, А₂К₂) которая определяется по способу прямоугольного треугольника.

Расстояние между двумя параллельными прямыми. Эта задача решается аналогично рассмотренной на рисунке 2.49.Предположим что через точку А проходит прямая параллельная прямой ВС и на этой прямой берется произвольная точка и из нее опускается перпендикуляр на другую прямую. Длина отрезка перпендикуляра определяет расстояние между двумя параллельными прямыми.

Рисунок 2.48	Рисунок 2.49

Расстояние от точки до плоскости равно длине отрезка перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость.

Задача: Дана плоскость S(A, B, C) и точка D(D₁, D₂) (рисунок 2.50). Требуется определить расстояние от точки до плоскости.

Решение:

1 Строится перпендикуляр l(l₁, l₂) из точки D(D₁, D₂) на плоскость S (A, B, C): l₁ h₁; l₂ f₂.

2 Строится точка К (К₁, К₂) пересечения перпендикуляра l (l₁, l₂) с плоскостью S (A, B, C).

3 Определяется расстояние от точки D(D₁, D₂) до плоскости, которое равно натуральной длине отрезка [DK]. Если дана задача на определение расстояние между двумя параллельными плоскостями, то это расстояние определяется длиной отрезка перпендикуляра, опущенного из произвольной точки одной плоскости на другую. Дальнейшее решение задачи аналогично предыдущей.

Рисунок 2.50