Правило Лопиталя

Правило Лопиталя применяют для вычисления пределов вида , когда имеют место неопределенности типа или

Пусть функции f(х) и g(х) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки х ₀, за исключением, быть может, самой этой точки. Пусть (неопределенность типа ) или (неопределенность типа ). Тогда

,

если предел справа существует.

Пример 1. Найти

Решение. Раскроем неопределенность вида , применяя правило Лопиталя:

Снова имеем неопределенность , воспользуемся еще раз правилом Лопиталя:

по правилу

Пример 2. Найти

Решение. Раскроем неопределенность вида по правилу Лопиталя, применив его два раза:

Отметим, что функция у = е^ах (экспонента) возрастает быстрее полинома любой степени.

Пример 3. Найти

Решение. Раскроем неопределенность вида , применив правило Лопиталя:

Заметим, что полином любой степени растет быстрее логарифмической функции.

Пример 4. Найти .

Решение. Сначала преобразуем неопределенность вида 0× ¥ к неопределенности вида , затем применим правило Лопиталя: