Москва 2010

Министерство общего и

Профессионального образования

Российской Федерации

МАТИ им. К. Э. Циолковского

Кафедра

“Системное моделирование и инженерная графика”

Учебное пособие к индивидуальному

Заданию

“МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ”

Автор: Байкалова С.М.

Москва 2010

Цель задания

Проработать и усвоить способ замены плоскостей проекций – один из основных способов преобразования комплексного чертежа, применяемый в инженерной практике для решения метрических задач: определение натуральных величин длин, углов, площадей геометрических фигур, расстояний между ними; построение дополнительных видов изделий, разверток поверхностей, натуральных величин сечений; построение линий пересечения поверхностей и прочее.

Объем задания

Определяется программой курса начертательной геометрии.

Приведены решения следующих задач:

1. Построить натуральный вид сечения четырехгранника ABCD при рассечении его профильно-проецирующей плоскостью å (å ₃) – задает преподаватель.
2. Определить величину двугранного угла ABCD с ребром ВС.
3. Определить расстояние между ребрами AD и ВС.
4. Построить точку D´ симметричную данной точке D относительно плоскости ∆ АВС.
5. Определить натуральную величину основания четырехугольника ABCD.

Координаты необходимых точек A, B, C, D берутся по таблице вариантов в масштабе 1: 1.

Оформление

Решение всех задач выполняется в карандаше на ватмане формата А3 в соответствии с требованиями ЕСКД. Название чертежа “Задачи метрические” располагается в соответствующей графе основной надписи и выполняется шрифтом №7, номер чертежа – шрифтом №10. В графе “разработал” проставляется фамилия студента шрифтом №5.

Обозначение проекций точек, прямых плоскостей и осей выполняются шрифтом №5.

Расположение чертежей задач на листе должно быть таково, чтобы не было наложения изображений и поле чертежа использовалось равномерно, приблизительно на 75% площади листа.

Методические указания

При частном положении геометрических фигур относительно плоскостей проекций решение задач на комплексном чертеже значительно упрощается. Для перехода от общего положения геометрических фигур к частному используется способ замены плоскостей проекций, когда одна из основных плоскостей проекций заменяется новой, удобно расположенной относительно геометрической фигуры. При этом положение самой фигуры относительно основных плоскостей проекций (П₁; П₂; П₃) остается неизменным.

Новая плоскость проекций (рис. 1) должна быть:

1. Расположена относительно геометрической фигуры так, чтобы фигура заняла частное положение относительно новой системы плоскостей проекций;
2. Перпендикулярна незаменяемой плоскости проекций;

Расстояние новой плоскости проекции от геометрической фигуры произвольно и может определяться удобством расположения на чертеже. Линия пересечения незаменяемой и новой плоскостей проекций обозначается Х _{i 4}.

Для получения комплексного чертежа новая плоскость проекций П₄ совмещается поворотом с незаменяемой плоскостью проекций, относительно которой новая плоскость перпендикулярна. Поворот осуществляется вокруг новой оси Х _{i 4} в направлении, обусловленном удобством расположения новой проекции на поле чертежа.

На комплексном чертеже (рис. 2) сохраняются:

1. Правила прямоугольного проецирования для вновь полученной системы плоскостей проекций П₁/П₄, т.е. новые линии связи (А₁А₄) перпендикулярны новой оси Х₁₄.
2. Расстояния проекций точек до плоскости проекций, относительно которой перпендикулярна новая плоскость проекций (П₄^П₁), т.е. расстояние от новой оси Х₁₄ до новых проекций точек на П₄ равно расстоянию от предыдущей оси (Х₁₂) до проекций точек на заменяемой плоскости проекций П₂ (А₁₂А₂=А₁₄А₄).

		A14

Пример. Преобразовать отрезок общего положения АВ в прямую уровня.

Решение 1. Новая плоскость проекций П₄ – параллельна прямой АВ и перпендикулярна плоскости П₁ (рис. 2), поэтому ось Х₁₄ параллельна горизонтальной проекции отрезка АВ(Х₁₄||А₁В₁). Линии связи А₁А₄ и В₁В₄ перпендикулярны оси Х₁₄; базой отсчета является плоскость П₁.

Решение 2. Новая плоскость проекций П₄ параллельная прямой АВ и перпендикулярна плоскости П₂ (рис. 3). Ось Х₂₄ параллельна фронтальной проекции отрезка (Х₂₄||А₂В₂) и новые линии связи А₂А₄ и В₂В₄ перпендикулярны оси Х₂₄. Базой отсчета является плоскость П₂.

Задача №1

Построить натуральный вид сечения четырехгранника ABCD профильно-проецирующей плоскостью å (å ₃) – (задает преподаватель).

Натуральный вид сечения будет получен только в том случае, если новая плоскость проекций будет параллельна секущей плоскости å (å ₃).

Алгоритм решения (рис. 4)

1. По координатам точек А, В, С, D строим трёхкартинный комплексный чертеж четырехгранника АВСD с соблюдением видимости ребер.

1. 13233343 12223242 11213141

   Находим точки пересечения ребер 1, 2, 3, 4 с секущей плоскостью å (å ₃) на всех трех проекциях с учетом видимости сечения.

1. X34||å 3

   Проводим новую ось Х₃₄ параллельно плоскости å (å ₃).

1. ^ X34

   Проводим новые линии связи для новой системы плоскостей проекций П₃/П₄.

1. Откладываем на линиях связи ширины точек (координаты Х).

1. 14243444

   Соединяем полученные точки ломаной линией – получаем натуральный вид сечения.

		Рис. 5

Задача №2

Определить величину двугранного угла ABCD с ребром ВС.

Величина двугранного угла определяется величиной линейного угла.

Двугранный угол проецируется в линейный, если его ребро спроецируется в точку. Итак, ребро ВС – прямую общего положения необходимо преобразовать в проецирующую прямую. Для этого необходимо выполнить два преобразования:

1. Прямую общего положения преобразовать в прямую уровня (рис. 2);
2. Полученную прямую уровня преобразовать в проецирующую прямую (рис. 5).

Алгоритм решения

1. А1B1C1D1 А2B2C2D2

   По координатам точек А, В, С, D строим двухкартинный комплексный чертеж двугранного угла с соблюдением видимости ребер.

1. В1B4 С1C4 А1A4 D1D4

   Проводим новую ось Х₁₄ параллельно горизонтальной проекции ребра ВС.

1. ^ X14

   Проводим новые линии связи перпендикулярно новой оси Х₁₄.

1. Откладываем на линиях связи высоты точек.

1. B4C4A4D4

   Вычерчиваем новую проекцию двугранного угла с соблюдением видимости граней.

2. В5В45 = В1В14 С5С45 = С1С14

   Х45^ В4С4

   Проводим следующую ось Х₄₅ перпендикулярно ребру ВС в новой системе плоскостей проекций.

3. А5А45 = А1А14 D5D45 = D1D14

   Откладываем от новой оси на новых линиях связи, перпендикулярных оси Х₄₅, расстояния от предыдущей оси до проекций точек на заменяемой плоскости проекций.

1. Ð A5B5D5

   Строим линейный угол и отмечаем его величину.

Задача №3

Определить расстояние между ребрами AD и ВС.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми определяется общим перпендикуляром, пересекающим обе прямые.

Обозначим искомый перпендикуляр KL. Он спроецируется в натуральную величину, если одна из прямых спроецируется в точку. Итак, необходимо эту прямую общего положения преобразовать в проецирующуюся прямую (см. Задачу №2).

Алгоритм решения

Используем графическое решение задачи №2 (рис.5).

1. K5=B5 K5L5 ^ A5D5 |K5L5|=HBKL K4L4 || X45 K1L1; K2L2

   Проводим перпендикуляр KL из точки проекции ребра ВС на прямую AD.
2. Находим проекции перпендикуляра KL на всех плоскостях проекций по принадлежности проекций точек K и L проекциям соответствующих ребер.

Примечание: Прямую AD на всех проекциях изображаем тонкой линией.

Задача №4

Построить точку D΄ симметричную данной точке D относительно плоскости ∆ ABC.

Точка симметричная данной точке относительно какой-либо плоскости находится на одном перпендикуляре с данной точкой к данной плоскости и на равном расстоянии от неё. Чтобы спроецировать перпендикуляр DD΄ к плоскости ∆ ABC в натуральную величину, необходимо эту плоскость преобразовать в проецирующую плоскость. Плоскость проецируется в прямую, если какая либо прямая этой плоскости проецируется в точку. Такой прямой является линия уровня данной плоскости (горизонталь – h или фронталь – f). Она проецируется в точку за одно преобразование.

Алгоритм решения (рис. 6)

1. h Î ∆ ABC h1, h2   X14 ^ h1     A1A4 B1B4 C1C4 D1D4   A4A14=A2A12 B4B14=B2B12 C4C14=C2C12 D4D14=D2D12   D4D΄ 4 ^ A4B4C4 |D4D΄ 4|=HBDD΄   D1D΄ 1 || X14 D2D΄ 2

   Проводим линию уровня – горизонталь (фронталь) в зависимости от удобства расположения на поле чертежа.
2. Проводим новую ось Х₁₄ перпендикулярную горизонтальной проекции горизонтали.

1. Проводим линии связи от точек A₁, B₁, C₁, D₁ перпендикулярно оси Х₁₄.

1. Откладываем высоты точек на линиях связи от оси Х₁₄.

1. Опускаем перпендикуляр DD΄ из точки D на проецирующую плоскость основания - ∆ ABC.
2. Находим проекции DD΄ на всех плоскостях проекций.
3. Определяем видимость перпендикуляра, используя точку N – точку пересечения DD΄ ∩ ∆ ABC=N

Задача №5

Определить натуральную величину основания ∆ ABC.

Любая геометрическая фигура проецируется без искажения на ту плоскость проекций, относительно которой она параллельна. Итак, необходимо плоскость основания (∆ ABC) преобразовать в плоскость уровня.

Для преобразования плоскости общего положения в плоскость уровня проводим два преобразования:

1. Плоскость общего положения преобразуем в проецирующую (см. Задачу №4);
2. Полученную проецирующую плоскость преобразуем в плоскость уровня (рис. 6).

Алгоритм решения

Используем графическое решение задачи №4.

1. Х45 || А4В4С4     A5A45=A1A14 B5B45=B1B14 C5C45=C1C14     ∆ А5В5С5

   Проводим ось Х₄₅ параллельно проекции плоскости основания на плоскости проекций П₄.
2. Проводим линии связи, перпендикулярные оси Х₄₅, и на их продолжении откладываем от оси Х₄₅ расстояния, равные расстояниям проекций точек А, В, С на заменяемой плоскости проекций до предыдущей оси.
3. Строим треугольник основания. Это и есть натуральная величина основания.

Примерное расположение заданий и решения приводиться на рис.4, 5, 6

Способ замены плоскостей проекций применяется и при решении задач построения линий пересечения данных поверхностей.

Задача №1.

Одну из поверхностей преобразовать в проецирующую.

Тогда одна проекция линии пересечения совпадет с вырожденной проекцией проецирующей поверхности. А вторая проекция находится по принадлежности поверхности общего положения (рис. 7).

Задача №2.

Определить область применения способа вспомогательных плоскостей-посредников частного положения.

Для этого находим особые точки линии пересечения (верхнюю и нижнюю), лежащие в общей плоскости симметрии обеих поверхностей (рис. 8).

		Рис. 8