Непрерывные наращение и дисконтирование - непрерывные проценты

В практических финансово-кредитных операциях непрерывное наращение, т.е. наращение за бесконечно малые отрезки времени, применяется крайне редко.

Существенно большее значение непрерывное наращение имеет в анализе сложных финансовых проблем, например, при обосновании и выборе инвестиционных решений, в финансовом проектировании.

При непрерывном наращении процентов применяют особый вид процентной ставки - силу роста. Сила роста характеризует относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени. Она может быть постоянной или изменяться во времени.

При дискретном начислении процентов m раз в году по номинальной ставке j наращенная сумма определяется по уравнению:

При именем: .

Для того, чтобы отличить непрерывную ставку от дискретной, силу роста обозначают, как , тогда:

, (3.30)

Дискретные и непрерывные ставки наращения находятся в функциональной зависимости между собой. Из равенства множителей наращения следует:

, (3.31)

, (3.32)

Определение срока платежа и процентных ставок

При разработке условий финансовых операций часто бывает необходимо решить обратную задачу - определить продолжительность ссуды или определить уровень процентной ставки.

Срок платежа. Приведем формулы расчета n для различных условий наращения процентов и дисконтирования. При наращении по сложной годовой ставке i по номинальной ставке j, соответственно получим:

, (3.33)

, (3.34)

При дисконтировании по сложной годовой учётной ставке d и по номинальной учётной ставке f:

, (3.35)

, (3.36)

При наращении по постоянной силе роста и по изменяющейся с постоянным темпом силе роста:

, (3.37)

, (3.38)

Приведем формулы для расчета ставок i, j, f, для различных условий наращения процентов и дисконтирования.

При наращении по сложной годовой ставке процентов и по номинальной ставке m раз в году находим:

, (3.39)

, (3.40)

При дисконтировании по сложной учетной ставке и по номинальной учетной ставке,

, (3.41)

, (3.42)

При наращении по постоянной силе роста

, (3.43)

При наращении по изменяющейся с постоянным шагом силе роста

, (3.44)

Пример. Сберегательный сертификат куплен за 100 тыс. руб., выкупная его сумма - 300 тыс. руб., срок 2, 5 года. Каков уровень доходности инвестиций в виде годовой ставки сложных процентов?

По уравнению (3.29) находим:

или 55, 184 %

При начислении простых процентов

где - реально наращенная сумма,

g - ставка налога на %.

В долгосрочных операциях при начислении налога на сложные % возможны следующие варианты: налог начисляется на весь срок сразу или последовательно в конце каждого года. В первом случае:

, (3.45)

Во втором случае налог определяется за каждый истекший год. Сумма налогов за весь срок не зависит от метода начисления.

, (3.46)

Инфляция

Изменение покупательской способности денег за некоторый период измеряется с помощью индекса

- индекс цен.

Под темпом инфляции понимается относительный прирост цен за период (H), измеряется в %.

Например, если темп инфляции равен 130 %, то цены за этот период выросли в 2, 3 раза.

Среднегодовые темп роста цен и темп инфляции (h) находятся на основе величины

.

Поскольку инфляция является цепным процессом (цены в текущем периоде, повышаются на % относительно уровня, сложившегося в предыдущий период), то индекс цен за несколько таких периодов равен произведению цепных индексов цен:

; (3.47)

Если h - постоянный ожидаемый (или прогнозируемый) темп инфляции за период, то за n таких периодов получим:

, (3.48)

Рассмотрим проблему обесценивания денег при их наращении. В общем случае:

, (3.49)

При наращении по простой ставке, имеем:

, (3.50)

Увеличение наращенной суммы с учетом сохранения покупательной способности денег имеет место тогда, когда .

При наращении по сложным процентам

, (3.51)

Если h/100 < i происходит малый рост. Ставка по простым процентам, которая только компенсирует инфляцию, определяется по уравнению:

Для сложных процентов .

Ставку, превышающую , называют положительной ставкой процента.