![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Повне дослідження функції.
План 1. Інтервали монотонності 2. Проміжки опуклості 3. Асимптоти 4. Найбільше та найменше значення функції 5. Побудова графіків
Похідна функції має широке застосування при розв’язуванні різних задач математики, фізики, техніки та економіки. Так, наприклад, за допомогою похідної можна обчислити границю функції, знайти екстремум функції, інтервали монотонності, точки перегину функції та інше. Інтервалами монотонності функції називаються ті інтервали, на яких функція або тільки зростає, або тільки спадає або залишається сталою. Якщо неперервна на сегменті
Максимум і мінімум функції називають екстремуми функції. Необхідною умовою існування екстремуму в точці Критичними або стаціонарними точками неперервної функції
![]() ![]() ![]()
![]() ![]() Точкою перегину неперервної функції називається та точка, яка відділяє вгнутість від опуклості її графіка (Рис. 7). Якщо друга похідна функції Необхідною умовою існування точки перегину графіка функції є рівність нулю її другої похідної: Точка Достатньою умовою існування точки перегину графіка неперервної функції є зміна знаку другої похідної при переході через точку Асимптотою графіка функції Вертикальною асимптотою є пряма Для функції Похилу асимптоту шукають у вигляді
Якщо хоча б одна границя не існує, то похила асимптота відсутня. При знаходженні границь (23) інколи зручно використовувати правило Лопіталя: якщо границя відношення двох функцій
якщо остання границя існує.
Приклад 18. Знайти найбільше та найменше значення функції Розв’язання. Функція може досягати свого найбільшого та найменшого значення або на кінцях відрізка, або у критичних точках, якщо вони знаходяться у середині відрізка. Знайдемо критичні точки функції і розглянемо тільки ті, які потрапляють в інтервал
Обчислимо значення функції у критичних точках та на кінцях відрізка. Одержимо:
Відповідь:
Приклад 19. Провести повне дослідження функції Розв’язання. 1) Знайдемо область визначення функції: 2) У графіка цієї функції відсутні асимптоти. Якщо функція неперервна, то відсутні вертикальні асимптоти. При знаходженні похилих асимптот
3) Знайдемо інтервали монотонності та критичні точки функції за допомогою першої похідної.
4) Знайдемо інтервали вгнутості та точки перегину графіка функції за допомогою похідної другого порядку.
Критичні точки другого порядку
5) Знайдемо точки перетину функції з осями координат: при 6) Побудуємо схематично графік функції (рис. 8). Приклад 20. Провести повне дослідження функції Розв’язання. 1) Знайдемо область визначення функції. Необхідно знайти ті точки, в яких знаменник дробу дорівнює нулю і виключити їх. Одержимо 2) Знайдемо асимптоти графіка функції. а) Вертикальні асимптоти будемо шукати в точках розриву функції. Одержимо Прямі б) Похилі асимптоти будемо шукати у вигляді
3) Знайдемо інтервали монотонності та критичні точки функції. Для цього знайдемо першу похідну функції. Маємо:
Тоді
4) Знайдемо інтервали вгнутості та точки перегину графіка функції. Для цього знайдемо другу похідну.
Знайдемо знак другої похідної в кожному з інтервалів Маємо На інтервалах 5) Знайдемо точки перетину графіка функції з осями координат: при
Зауваження. Часто при побудові графіка функції знаходять парність функції. Тобто перевіряють умови: Для функції
Функція непарна, а її графік симетричний відносно початку координат.
|