Уравнение неразрывности в дифференциальной форме

В потоках несжимаемой жидкости, в которых нет ни оттока, ни присоединения расхода, объемный расход в любом сечении постоянный. Можно поэтому предположить, что в каждой точке внутри потока должно выполняться соотношение, гарантирующее, что в ней не происходит ни исчезновения, ни возникновения жидкости. Таким уравнением является уравнение неразрывности в дифференциальной форме. Если поток в каждой точке задан вектором скорости (x, y, z) (в проекциях , и ), то уравнение неразрывности имеет вид

+ + = 0.

Уравнение неразрывности должно выполняться в каждой точке потока жидкости.

Задача 6.3. Скорость потока задана так

U_x = a (3x – 2y - z), U_y = a (3x – 2y – 2z), U_z = a (2x – 3y – z).

Проверить, возможно ли существование такого потока. В выражениях для U_x, U_y и U_z постоянный коэффициент a служит для сохранения размерности скорости в правой части.

Решение. Подсчитаем частные производные:

= 3a; = - 2a; = - a.

Складывая их, получаем ноль, поэтому уравнение неразрывности выполняется и такой поток может существовать.